Author: Sergiu Funieru

Noţiuni de bază : Modulul

Modulul unui număr este mărimea numărului şi se notează cu |număr|.
Orice număr este format din semn şi mărime.

Exemple:
-7
semnul este –
modulul este 7

+7
semnul este +
modulul este 7

7
semnul este +
modulul este 7

Excepţie:
0 nu are semn
modulul este 0

Important:
Dacă semnul lipseşte, atunci se consideră că este +. Deoarece numerele pozitive sunt folosite mult mai des decât cele negative, este mai uşor să nu punem semnul + dacă se înţelege din context că numărul este pozitiv.

Exemplu:
O persoană are 18 ani. Se înţelege că are + 18 ani.

Modulul este întotdeauna pozitiv sau 0.

De ce crede lumea că modulul poate şi negativ?
Citat din formula modulului:
“|x| = -x dacă x < 0”
Lumea crede că orice numar cu – în faţă este negativ. Acest lucru este fals.
Exemplu:
– (-7) are – în faţă, dar în final face +7
|-7| = -(-7) = 7 (deci este pozitiv)

De ce nu se spune simplu că modulul este numărul fără semn, ci se foloseşte o formulă complicată?
Definiţia din manual este în limbaj matematic, pe când definiţia de mai jos este în limbaj popular.
Dacă semnul – sau semnul + reprezintă “coaja” numărului, atunci modulul reprezintă “miezul” lui.

Cum le-a venit idea? Teorema lui Pitagora

Cele două patrate mari, de latura a+b fiecare, sunt compuse din:
Pătratul din stânga:

  • un pătrat verde, de latură a
  • un pătrat albastru, de latură b
  • 4 triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b, şi ipotenuza c

Pătratul din dreapta:

  • un pătrat roşu, de latură c
  • 4 triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b, şi ipotenuza c

Decupăm toate figurile din cele două pătrate şi le aşezăm una lângă alta.

Eliminăm elementele comune (adică cele 4 triunghiuri din fiecare parte)
Rămânem cu:
– în stânga :

  • pătratul de latură a
  • pătratul de latură b

– în dreapta :

  • pătratul de latură c

Aria totală în stânga este a la pătrat + b la pătrat.
Aria totală în dreapta este c la pătrat.

Aria totală din stânga = Aria totală din dreapta.

Deci, cum ar fi spus şi Pitagora dacă ar fi fost de faţă:

Cum le-a venit ideea? : Suma unghiurilor unui triunghi oarecare este 180 de grade

Cere-i unui adult să arate că suma unghiurilor unui triunghi oarecare este 180 de grade şi n-o să ştie.
Arată-i demonstraţia clasică şi n-o s-o înţeleagă prea uşor.
Arată-i unui copil demonstraţia de mai jos şi o s-o ţină minte o viaţă întreagă.

Povestea teoremei:
În timp ce punea gresie de formă triunghiulară, cineva a observat că dacă aşează 3 plăci ca în figura de mai jos, ele se aliniază perfect.

Demonstraţie color:
Cele 3 triunghiuri sunt congruente (placile de gresie sunt de acelaşi fel).
Unghiurile de aceeşi culoare sunt egale (ar avea aceeasi literă, dacă plăcile are avea litere în colţuri).
Cele trei culori fac împreună 180 de grade (formează un unghi prelungit).

Morală (sau concluzia demonstraţiei)
Cele trei culori fac împreună 180 de grade, şi când sunt puse toate 3 în acelaşi triunghi.

În demonstraţia clasică, se duce o paralelă la o latură a triunghiului, printr-unul dintre vârfuri. În rest, demonstraţia este aceaşi. Dar … cum îi dădea prin cap unui elev perfect sănătos ideea unei paralele? Dacă ar fi văzut versiunea color, cea alb-negru ar fi fost floare la ureche.

Ştiaţi că la şcoală nu e voie cu flori la urechi? 😉

Care e valoarea lui PI?

Citeşte aici care este valoarea lui PI în opinia Simonei Sensual.

După părerea unui elev, care făcea meditaţii din greu
(şi care lucra atât de mult, încât nu-i mai rămânea timp să înţeleagă ce face)
“PI = 3.14, când lucrăm la analiză (matematică) şi PI = 180 de grade când lucrăm la trigonometrie.”

Bietul PI, avea personalităţi multiple.

Adevărul este mult mai simplu: PI = 3,14…, indiferent la ce-l folosim. Este un număr adimensional (adică, nu are unitate de măsură).

De unde vine confuzia?
180 de grade = PI radiani. Din cauză că viaţa e scurtă şi lenea unora e mare, propoziţia anterioară este scrisă de către unii 180 de grade = PI. Este ca şi cum am spune 1000 de metri = 1, în loc de 1000 de metri = 1 km.

Ar fi bine să vezi şi Ce este radianul?

Ce este radianul?

Radianul este un multiplu al gradului, la fel cum kilometrul este un multiplu al metrului.

1 Km = 1000 de metri
1 radian = 57,29… grade, adică
3,14… radiani = 3,14… * 57,29… grade
Mai frumos:
PI radiani = 180 de grade.

Greşeală tipică:
PI radiani = 180 de grade (corect)
PI = 180 de grade (greşit, dar folosit foarte des în limbajul uzual)

Matematică extremă:
Cam cât ar fi PI metri? Cam 3.14 metri.
Cam cât ar fi 1 KiloRadian? Cam 5729 de grade.

În viaţa reală, PI metri este la fel de util ca 1 KiloRadian, adică nu sunt utile deloc. Pe de altă parte, PI radiani şi 1 KiloMetru reprezintă ceva care simplifică unele calcule.

Ar fi bine să vezi şi Care este valoarea lui PI?

Întrebări capcană : Ce e mai greu, un kilogram de plumb sau unul de alumimiu?

1 kilogram de orice = 1 kilogram de orice altceva.
1 kilogram de plumb = 1 kilogram de aluminiu, deci ambele sunt la fel de grele.

Când aud întrebarea “Ce e mai greu, un kilogram de plumb, sau unul de aluminiu?”, mulţi îşi imaginează că au fost întrebaţi “Ce e mai greu, un cub cu latura de 1 metru, plin cu plumb, sau un cub cu latura tot de 1 metru, plin cu aluminiu?” În acest caz, cubul plin cu plumb este mai greu.

Cuvântul “greu” se referă la masa obiectului. Plumbul are densitate mai mare decât aluminiul (deci la acelaşi volum, plumbul este mai greu). Dacă masele sunt egale, 1 kilogram de plumb ocupă un spaţiu (volum) mai mic decât unul de aluminiu.

Premiu:
La o şcoală generală, învăţătoarea testează nivelul elevilor, folosind întrebări capcană.
– Ce e mai greu, un kilogram de plumb, sau unul de aluminiu?
Vizitează link-ul de mai jos pentru continuarea bancului.
http://bancuri.cc

Formulă : Tangentă de x/2 în funcţie de sinus de x şi de cosinus de x


Ştim: sinus de x
Ştim : cosinus de x

Vrem să aflăm : tangentă de x pe 2

Formula:

Formula tangenta de x pe 2 in functie de sinus de x si de cosinus de x

Când se aplică?
Formula se poate aplica pentru orice x care nu este multiplu impar de PI (cu alte cuvinte, se poate aplica doar în cazul în care cos x nu este -1).

De ce?
Pentru cos x = -1, se anulează numitorul fracţiei şi obţine o operaţie nepermisă.

Ce facem când cos x = -1?
În acest caz, x este multiplu impar de PI, şi nu exista tangentă de x/2 în acest caz (deoarece tangentă de PI/2 nu există)

La ce foloseşte limbajul binar?

Numerele scrise în limbaj binar folosesc doar cifrele 0 şi 1. De exemplu, numărul 2 se scrie 10 în baza 2.

Limbajul binar se foloseşte la transmiterea datelor în interiorul calculatorului şi între calculatoare. Ce e mai uşor : să-ţi dai seama dacă un bec este aprins (numărul 1) sau stins ( numărul 0), sau dacă un bec aprins este de 60 de watti (numărul 6) sau de 70 de watti (numărul 7)? Este mai uşor de transmis date în format binar, chiar dacă este nevoie să fie transformate înapoi în formă inteligibilă pentru om.

Operaţiile manuale cu numere scrise în bază 2 sunt dificil de efectuat.
Dacă vă întreabă cineva cât fac 10011000111 : 10011011, ori are o problemă la cap (caz în care evitaţi persoana) ori este profesorul (profesoara) de la şcoală, care îşi face doar datoria de a preda ce cere programa. În ambele cazuri, nu uitaţi că nu sunteţi calculatoare şi nu are rost să vă simţiţi jenat (jenată) dacă nu puteţi răspunde la astfel de întrebări, mai mult sau mai puţin decente.

Premiu pentru răbdare:
– Câte feluri de persoane există?
Citeşte aici continuarea:
http://bancuri.cc

La ce foloseşte algoritmul lui Euclid?

Cu algoritmul lui Euclid putem calcula cel mai mare divizor comun (CMMDC) a două numere, fără să fie nevoie să descompunem numerele în factori.

Comentarii:
Algoritmul lui Euclid este una dintre cele mai surprinzătoare teoreme din matematică. Ne permite să calculăm cel mai mare divizor comun, fără să ştim care sunt toţi divizorii! Este ca şi cum ne-ar spune direct care este cel mai înalt munte din România fără să-i măsoare pe toţi.

Algoritmul lui Euclid este o metodă foarte rapidă.
Comparaţie: dorim să calculăm CMMDC (a, b) unde a şi b au fiecare câte 10 cifre.

Metoda 1 : descompunem numerele în factori
Fără folosirea unui calculator, descompunerea în factori a unui număr de 10 cifre, poate dura o lună întreagă.
Descompunerea lui a : durează maxim 1 lună
Descompunerea lui b : durează maxim 1 lună
Aflarea CMMDC : câteva minute.
În cel mai nefericit caz, metoda clasică durează 2 luni.

Metoda 2 : folosim algoritmul lui Euclid
În cel mai nefericit caz, aflăm CMMDC în 2 ore.

Dacă a şi b au câte 1000 de cifre, descompunerea în factori, folosind cel mai performant calculator existent pe planetă, durează miliarde de miliarde de miliarde de miliarde de miliarde de ani.

Folosind algoritmul lui Euclid, calculul CMMDC a doua numere, de cate 1000 cifre fiecare, durează mai puţin de o secundă pe un calculator PC de performanţă medie.