De ce sunt speciale poligoanele regulate?

Poligoanele regulate nu au nimic special. Dimpotrivă. Poligoanele regulate sunt cât se poate de “la locul lor”.

Uneori, traducerile anumitor cuvinte din alte limbi nu sunt dintre cele mai fericite. Mai rău, ele sunt propagate din generație în generație, din manual în manual.

Un exemplu din fizică: inductanța mutuală între două bobine. Cum adică “mutuală”? Adică, cele două bobine stau ca mutele, și nu zic nimic? Mutuală este traducerea necorespunzătoare a cuvântului “mutual”, din limba Engleză, care înseamnă “reciproc”. Adică, dacă două bobine sunt prea aproape una de alta, se influențează reciproc (așa funcționează transformatorul). La fel cum două persoane aflate foarte aproape una de alta se aud reciproc – fiecare aude ce cuvinte îi spune cealaltă.

În limba Engleză, “regular” înseamnă “obișnuit”, iar “irregular” înseamnă “neobinșnuit”. Deci, nu “regulat” și “neregulat”. Pentru ca să păstrăm tradiția, o să fiu nevoit să folosesc și eu denumirea standard, și să devin complice la propagarea unei traduceri de o calitate îndoielnică. Un verb neregulat este de fapt un verb neobișnuit, unul care nu respectă aceleași reguli ca și verbele regulate. Este ca un fel de rebel.

Un poligon se numește regulat dacă are toate unghiurile egale și toate laturile egale. Bine, bine, întreba cineva, dar dacă are toate unghiurile egale, atunci nu are obligatoriu și toate laturile egale? Iar acea persoană dădea de exemplu triunghiul echilateral, la care, din cauză că toate unghiurile sunt egale, se poate arăta că și toate laturile sunt egale. Doar că triunghiul echilateral este singurul fel de poligon regulat la care se întâmplă acest lucru. La oricare alt număr de laturi, faptul că toate unghiurile sunt egale nu înseamnă că și toate laturile egale. Și nici invers.
4Laturi2

Dintre toate poligoanele cu 4 laturi (numite, alintat, și “patrulatere”), doar pătratele sunt regulate, pentru că doar ele au toate laturile egale și toate unghiurile egale.

Poligoanele regulate studiate în școală sunt cu 3 laturi (triunghiuri echilaterale), 4 laturi (pătrate) și cu 6 laturi (hexagoane regulate). 3 feluri de poligoane cu 3 feluri de denumiri. O denumire un pic mai coerentă ar fi:
– triunghiuri regulate
– patrulatere regulate
– hexagoane regulate

De ce cuvântul “patrulater” (4 laturi) se referă la laturi, pe când “triunghi” (3 unghiuri) si “hexagon” (6 gonos) se referă la unghiuri, mă tem că n-am înteles niciodată.

Poligoanele regulate studiate în manuale au câteva formule, pe care, o dată ce le-ai învățat, le poți aplica la TOATE poligoane regulate de același tip. Poligoanele neregulate n-au formule, ceea ce le face foarte interesante când apar în probleme.

Poligoanele neregulate sunt poligoane pentru colecționari, la fel ca o monedă care nu seamănă cu toate celelalte. Ai văzut colecționari, care se respectă, care să colecționeze monezi cu care fac plata? Monezi la fel cu cele pe care le are toată lumea? Nu, ei colecționează o monedă care are o diferență față de celelalte, ceva unic, ceva special.

Un poligon care nu este regulat se numește neregulat. Adică, dacă nu e la fel cu cele regulate, nimeni nu se chinuie să-i dea un nume. Uite un exemplu de patrulater neregulat, neapreciat în manuale, și care se simte în elementul lui doar pe la olimipiade.

Neregulat

Funcţii injective, surjective şi bijective

O funcţie este ca o carte de telefon.
Domeniul de definiţie al funcţiei este mulţimea oamenilor din Romania.
Codomeniul este mulţimea numerelor de telefon disponibile în reţeaua RomTelecom.
Legea funcţiei este legătura între numele persoanei şi numărul ei de telefon.
Nu există o formulă, ci fiecare corespondenţă este scrisă separat.
Exemplu:
Ion Popescu : 096 523 5689

E ca şi cum ar fi o acoladă imensă, şi fiecare astfel de corespondenţă ar fi trecută pe câte un rând.

Pentru ca funcţia să fie legală, mai trebuie două condiţii:
– Să nu existe elemente în domeniu, care să nu aibă corespondent în codomeniu
(adică, să nu existe persoane fara număr de telefon)

– Să nu existe mai multe elemente în codomeniu, asociate aceluiaşi element din domeniu
(adică, o persoană nu are voie sa aibă mai multe numere de telefon diferite)

Funcţia numită “Carte de telefon” se numeşte injectivă, dacă nu există două persoane diferite cu acelaşi număr de telefon (cuplaj, cum era pe timpuri). Adică, fiecare persoană să aibă numărul ei.
Cu alte cuvinte, dacă s-a sunat de pe numărul lui Vasile, atunci cel care a sunat a fost Vasile.
La funcţii injective, numărul de persoane este mai mic (sau egal) cu numărul de numere de telefon alocate.

Funcţia numită “Carte de telefon” se numeşte surjectivă, dacă nu există numere de telefon nealocate.
La funcţii surjective, numărul de persoane este mai mare (sau egal) cu numărul de numere de telefon alocate.

Funcţia numită “Carte de telefon” se numeşte bijectivă, dacă este şi injectivă şi surjectivă.
La funcţii bijective, numărul de persoane este mai mare (sau egal) şi mai mic (sau egal) cu numărul de numere de telefon alocate. Ce mai, la funcţii bijective, numărul de persoane este egal cu numărul de numere de telefon. Adică, fiecare persoană are fix un număr de telefon, nu există două persoane cu acelaşi număr, şi nici nu mai sunt numere de telefon disponibile.

Legea de tricotomie

Prima dată când am auzit cuvântul “tricotomie”, am crezut că este vorba de o boală. Chiar mă gândeam cum să fac să lucrez doar cu numere sănătoase.

Lucrurile sunt mult mai simple. Legea de tricotomie zice aşa:
“Dacă a şi b sunt două numere reale, atunci este adevărată fix una dintre relaţiile de mai jos:
a < b
a = b
a > b”

Reacţia unui om normal la auzul legii de tricotomie este de obicei “Păi, da! Cum altfel?”

Sau, cum ar fi spus cineva celebru “Numerele a şi b – ori sunt egale, ori nu mai sunt egale!”

Bine, bine, dar la ce foloseşte legea de tricotomie? Ne spune că mulţimea numerelor reale este formată din elemente care se pot compara. Un exemplu de mulţime de elemente care nu se pot compara este C – mulţimea numerelor complexe. Adică, nu se poate spune că numărul complex z1 este mai mare sau mai mic decât numărul complex z2 – pur şi simplu numerele complexe nu-si bat capul să vadă care este mai mare sau care este mai mic.

Ecuaţia unei drepte

Cum ne dăm seama dacă un punct este pe o dreaptă? Fiecare dreaptă are o anumită amprentă: toate punctele care sunt pe ea satisfac o anumită egalitate, specifică dreptei respective, egalitate numită “ecuaţia dreptei.”

Exemplu:
Fie o dreaptă de ecuaţie 2*x + 3*y = 29. Orice punct de coordonate x şi y este pe această dreaptă dacă şi numai dacă 2*x + 3*y = 29

Punctul de coordonate 4 si 7 este pe dreaptă, deoarece 2*4 + 3*7 = 29.
Punctul de coordonate 4 şi 6 nu este pe dreaptă, deoarece 2*4 + 3*6 face 24, nu 29.

Exemplu practic:
Toţi membrii clubului “Dreapta perfectă” au legitimaţii de forma de mai jos.
La intrarea în club, se verifică dacă legitimaţia este falsă.

Legitimaţia (4,7) este validă, iar legitimaţia (4,6) este falsă.
O legimaţie validă de la un club poate fi considerată falsă la alt club.

Pentru cei care vor să ştie prea multe:
Ecuaţiile de forma:
x = ceva, reprezintă o dreaptă verticală
y = ceva, reprezintă o dreaptă orizontală

Ecuaţia 0 = 0 nu este ecuaţia unei drepte ci a întregului plan (în geometria plană) sau a întregului spaţiu (în geometria în spaţiu)

Ce este radianul?

Radianul este un multiplu al gradului, la fel cum kilometrul este un multiplu al metrului.

1 Km = 1000 de metri
1 radian = 57,29… grade, adică
3,14… radiani = 3,14… * 57,29… grade
Mai frumos:
PI radiani = 180 de grade.

Greşeală tipică:
PI radiani = 180 de grade (corect)
PI = 180 de grade (greşit, dar folosit foarte des în limbajul uzual)

Matematică extremă:
Cam cât ar fi PI metri? Cam 3.14 metri.
Cam cât ar fi 1 KiloRadian? Cam 5729 de grade.

În viaţa reală, PI metri este la fel de util ca 1 KiloRadian, adică nu sunt utile deloc. Pe de altă parte, PI radiani şi 1 KiloMetru reprezintă ceva care simplifică unele calcule.

Ar fi bine să vezi şi Care este valoarea lui PI?