Category: Cum le-a venit idea?

Dacă înțelegi rețeta după care se concep problemele de Matematică, o să-ți fie mult mai simplu să le rezolvi, pentru că o să observi rapid anumite șabloane. Cu cât știi mai multe șabloane, cu atât cresc șansele de rezolvare a unei probleme pe care o vezi pentru prima dată.

Lăsând la o parte denumiri distincte gen exercițiu și problemă, pe scurt, tot ce ai de rezolvat este o problemă. Spre disperarea profesorilor de Chimie, unii elevi încă folosesc termenul de soluție în loc de rezolvare. Simplificat, ai o problemă pe care vrei s-o rezolvi.

Cine concepe problemele? Autorul manualului sau culegerii. Știai că, dacă vrei, poți face și tu o culegere de probleme? Manualul conține teorie și probleme. Culegerea conține doar probleme. Dacă ai un site, îl poți publica pe site-ul tău. E ceva cu care te poți și lăuda la școală. 🙂

Care este cea mai simplă operație? Adunarea. Pentru adunare, sunt necesare cel puțin două numere. Cu operația de adunare și cu două numere, ai conceput prima problemă.

Exemplu:
1 + 1 = ?
Adică, să se calculeze 1 + 1.

Cum putem complica un pic problema? În loc de două numere naturale, scrise în formă explicită, putem folosi o expresie.

Exemplu:
1 * 5 + 3 = ?

Ca să rezolvi această problemă, trebuie să știi 3 lucruri:
– să faci o înmulțire
– să faci o adunare
– să știi care se face prima : înmulțirea sau adunarea.

Atunci când nu știi să rezolvi o problemă, sunt mai multe cauze:
– nu știi formula care a fost folosită ca schelet al problemei
– nu știi regulile de politețe între operații : care operație e prima
– nu știi cum să obții elementele care îți lipsesc în formulă

O metodă foarte eficientă de a înțelege cum se rezolvă problemele este să citești cât mai multe probleme rezolvate complet. Dacă ai înțeles complet rezolvarea, notează formulele folosite. O să vezi că, în general, sunt doar câteva formule per problemă. Dacă n-ai înțeles ceva din rezolvare, întreabă profesorul de la școală. Nu întreba 20 de probleme deodată, ci una pe zi. Spune-i că ai înțeles până la un anumit punct, dar nu întelegi restul.

Am o veste extraordinară pentru tine : problemele din manual folosesc doar formule din manual! Nu e ca la olimpiadă, unde trebuie să știi cine știe ce formule deosebite, care nu sunt în manual.

Problemele sunt de obicei de genul:
– se știu toate datele iar tu trebuie să calculezi rezultatul.
– se știu toate datele, inclusiv rezultatul, iar tu trebuie doar să verifici că e corect
– se știu anumite date, iar tu trebuie să le combini ca să obții rezultatul

Fiecare rezolvare folosește un set de formule. Cu alte cuvinte, dacă știi toate formulele, ai șanse mult mai mari să înțelegi rezolvarea unei probleme date, și să poți rezolva altele asemănătoare. După ce citești un număr suficient de mare de probleme rezolvate, o să vezi că multe probleme noi sunt asemănătoare cu cele pe care le-ai citit.

O altă veste bună este că la examene se dau doar probleme, nu și teorie. Problemele sunt mult mai interesante decât partea teoretică, la fel cum dialogul dintr-o povestire este mai captivant decât descrierile.

Știai că atunci când un profesor merge să corecteze lucrările de la un examen, primește subiectele dar și baremele? Un barem de notare îți spune clar pașii care trebuie urmați pentru rezolvarea problemei. Este o informație extrem de utilă, pe care o au, desigur, profesorii și nu elevii. Pentru un elev, baremul este ca setul de numere câștigătoare de la tragerea Loto : îl poate afla doar după ce s-a terminat examenul.

Exemplu de subiecte cu bareme cu tot:
http://subiecte2015.edu.ro/2015/bacalaureat/Subiecte_si_bareme/

Construcțiile auxiliare sunt folosite în geometrie pentru a oferi o nouă perspectivă asupra figurii.

Exemplu din viața reală: vrei să vorbești simultan cu mama și cu tata pe viu. Fiecare este într-o altă cameră. Cum faci să vorbești cu ambii deodată? Îi chemi în camera ta. Cele 3 persoane (tu, mama, tata) sunt aceleași, doar că perspectiva este alta. Îi poți vedea simultan.

Un exemplu din geometrie – suma unghiurilor unui triunghi. Dacă te uiți la un triunghi, nu-ți dai seama care este suma unghiurilor sale.

 

Dar, dacă aliniezi cele 3 unghiuri pe o dreaptă, se vede cu ochiul liber că suma este 180 de grade. Construcția auxiliară este dreapta paralelă la o latură, dusă prin vârful opus acelei laturi.

 

Distribuția:
A = tu
B = mama ta
C = tatăl tău

dreapta d = camera ta.

Nu orice problemă de geometrie are nevoie de o construcție auxiliară. De multe ori, ce trebuie demonstrat se poate demonstra folosind figura dată.

De unde știi, în general, cum să faci o construcție auxiliară? Nu există o formulă în acest sens. Dar, după ce vezi câteva probleme rezolvate, care folosesc construcții auxiliare, poți încerca acele construcții în problema ta.

Uneori, aceeași problemă poate fi rezolvată în mai multe moduri, folosind diferite construcții auxiliare în fiecare situație. Adică, poți să-i chemi pe părinți în camera ta, sau puteți discuta toți 3 în sufragerie.

Distribuția:
A = tu
B = mama ta
C = tatăl tău

cercul = sufragerie
(suma unghiurilor = jumătate din suma arcelor care compun un cerc întreg, adică tot 180 de grade).

 

Dacă vreodată vei găsi o carte în care autorul explică și de ce a făcut acea construcție auxiliară, te rog să-mi spui. Eu n-am reușit să găsesc până acum o astfel de carte. Fără excepție, toate problemele pe care le-am văzut, care folosesc construcții auxiliare au rezolvări de forma : ducem … , după care …. Dar de ce ducem, asta este o taină …

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N (cu N de la Naturale).
Mulţimea numerelor intregi ar trebui să se noteze cu I, de la Intregi.
Ei bine, nu. Mulţimea numerelor intregi se notează cu Z. De ce tocmai cu Z? Pentru că, în limba germană, la “întreg” se spune “Zahlen”. Aici se află mai multe detalii pe această temă.
http://en.wikipedia.org/wiki/Integer

Vestea bună este că există şi o mulţime notată cu I, şi anume mulţimea numerelor Iraţionale.

Dacă la “număr” se spune “aritmos” în limba greacă, atunci cum se vor numi operatorii care lucrează cu numere? Nu, nu se vor numi operatori aritmoşi, ci operatori aritmetici.

Concluzie : denumirile folosite în matematică au (uneori) o logică a lor.

Cele două patrate mari, de latura a+b fiecare, sunt compuse din:
Pătratul din stânga:

• un pătrat verde, de latură a
• un pătrat albastru, de latură b
• 4 triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b, şi ipotenuza c

Pătratul din dreapta:

• un pătrat roşu, de latură c
• 4 triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b, şi ipotenuza c

Decupăm toate figurile din cele două pătrate şi le aşezăm una lângă alta.

Eliminăm elementele comune (adică cele 4 triunghiuri din fiecare parte)
Rămânem cu:
– în stânga :

• pătratul de latură a
• pătratul de latură b

– în dreapta :

• pătratul de latură c

Aria totală în stânga este a la pătrat + b la pătrat.
Aria totală în dreapta este c la pătrat.

Aria totală din stânga = Aria totală din dreapta.

Deci, cum ar fi spus şi Pitagora dacă ar fi fost de faţă:

Cere-i unui adult să arate că suma unghiurilor unui triunghi oarecare este 180 de grade şi n-o să ştie.
Arată-i demonstraţia clasică şi n-o s-o înţeleagă prea uşor.
Arată-i unui copil demonstraţia de mai jos şi o s-o ţină minte o viaţă întreagă.

Povestea teoremei:
În timp ce punea gresie de formă triunghiulară, cineva a observat că dacă aşează 3 plăci ca în figura de mai jos, ele se aliniază perfect.

Demonstraţie color:
Cele 3 triunghiuri sunt congruente (placile de gresie sunt de acelaşi fel).
Unghiurile de aceeşi culoare sunt egale (ar avea aceeasi literă, dacă plăcile are avea litere în colţuri).
Cele trei culori fac împreună 180 de grade (formează un unghi prelungit).

Morală (sau concluzia demonstraţiei)
Cele trei culori fac împreună 180 de grade, şi când sunt puse toate 3 în acelaşi triunghi.

În demonstraţia clasică, se duce o paralelă la o latură a triunghiului, printr-unul dintre vârfuri. În rest, demonstraţia este aceaşi. Dar … cum îi dădea prin cap unui elev perfect sănătos ideea unei paralele? Dacă ar fi văzut versiunea color, cea alb-negru ar fi fost floare la ureche.

Ştiaţi că la şcoală nu e voie cu flori la urechi? 😉