Cât face arcsinus din radical din doi?

“Cât face arcsinus din radical din doi?” este întrebarea pe care o pun fiecărei persoane care se laudă cu notele ei la Matematică, obținute la școală. Fără excepție, răspunsurile pe care le primesc sunt de genul :
“Ă, … da, știi, la Trigonometrie nu prea m-a ascultat.”
“N-am mai lucrat de mult la Trigonometrie.”
“Nu mi-a plăcut niciodată Trigonometria.”

Până acum, n-am întâlnit pe nimeni care să-mi răspundă la întrebarea asta. Cred că acest lucru este din cauză că aceia care se laudă cu notele de la școală nu sunt pasionați de Matematică, ci de note.

Dacă la un concurs de sărituri în înălțime, campionul mondial a sărit 1 metru, cine a sărit 1 metru și 41 de centimetri? Simplu : nimeni! Pentru că nimeni nu a sărit mai mult decât campionul mondial.

Dacă sinusul lui x ia cel mult valoarea 1, indiferent cât ar fi x, pentru ce valoare a lui x sinusul ia valoarea 1,41… (adică, radical din 2)? Pentru nicio valoare a lui x, pentru că 1,41… este mai mare ca 1, iar sinus de x, oricât s-ar chinui, nu poate depăși valoarea lui 1.

Întrebarea de la început este echivalentă cu:
pentru ce valori ale lui x, sinusul lui x este egal cu 1.41 …?
Răspuns : nu putem găsi astfel de valori ale lui x, deci arcsinus din radical din doi nu există. Radical din doi este prea sus pentru a fi sinusul cuiva.

Cineva m-a întrebat, pe un ton foarte serios : “NOI nu putem găsi un astfel de x, dar japonezii pot?” Mă tem că nici măcar japonezii nu pot, în ciuda a tot ce-au inventat ei în domeniul electronicii.

Teorema lui Pitagora și triunghiul violet

În ultimii ani, unele probleme de la examene au început să aibă amănunte neesențiale introduse în enunț. Există elevi care se blochează când întâlnesc amănunte neesențiale, pentru ei sunt obișnuiți ca enunțul să conțină doar informații relevante. Atunci când un astfel de elev întâlnește un amănunt inutil, se întreabă “Oare de ce mi s-a oferit această informație? În mod sigur îmi folosește la ceva, că altfel nu mi s-ar fi dat, dar la ce?” Și, ușor – ușor, în mintea acelui elev începe să se strecoare îndoiala că lui îi scapă ceva, că rezolvarea lui aproape sigur nu e bună, pentru că n-a folosit și acel amănunt.

De ce se introduc astfel de amănunte în enunț? Pentru a verifica dacă elevii știu să extragă modelul matematic al unei probleme din viața reală. Problemele de zi cu zi conțin și amănunte irelevante, la fel cum o grădină cu legume conține și buruieni. Sarcina elevului este să depisteze buruienile din enunț și să le ignore. Dacă ar fi învățat să facă asta, nu doar să i se ceară să știe , ar fi și mai simplu pentru el.

Exemplu:
Într-un triunghi dreptunghic violet, catetele sunt de 4 cm și 3 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Elevul știe teorema lui Pitagora, dar o știe pentru un triunghi transparent, nu pentru unul violet. Desigur, dacă la examen întreabă ce imporanță are cuvântul “violet”, profesorul din sală o să-i spună cu un aer secretos sau nervos : “Nu am voie să vă ajut!” Iar acel elev s-ar putea să piardă puncte la examen, care uneori fac diferența dintre “admis” și “respins”, doar pentru că nu i-a spus nimeni că enunțul de mai sus, din punct de vedere strict matematic, este identic cu acesta:

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt de 4 cm și 3 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Întotdeauna m-au surprins enunțurile de genul “Calculați …” . Pluralul sugerează lucrul în grup, ceea ce face ca pedeapsa pentru colaborarea cu colegul de bancă să pară absurdă.

Dacă în problemă se adaugă un număr care pare inutil, atunci este dezastru total pentru anumiți elevi. Dacă cuvântul “violet” se poate ignora după un antrenament adecvat, un număr, care pare inutil, dă fiori reci elevului dacă nu știe unde să-l folosească.

Exemplu:
Într-un triunghi dreptunghic violet, catetele sunt de 4 cm și 3 cm, iar diametrul cercului circumscris triunghiului este de 5 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Lungimea ipotenuzei este chiar diametrul cercului circumscris triunghiului. Teorema lui Pitagora confirmă că valoarea ei este 5 cm. Totul este în regulă, exceptând faptul că un amănunt este în plus. Este un fel de pleonasm, gen “babă bătrână”, extrem de derutant în enunțuri, dar pentru care e bine să fii pregătit. Adică, dacă primești un astfel de enunț la examen, să ai încredere în tine și să rezolvi problema la fel cum ai rezolva-o și dacă nu ți s-ar fi oferit în enunț amănunte neesențiale.

violet

Teste de inteligență :: interviu pentru angajare : 0,3,6,9,10

Am participat, cândva, la un interviu pentru angajare la o firmă, în domeniul informatic. Mi s-a dat un test, la care una din întrebări suna cam așa:

Ce proprietate au doar numerele 0,3,6,9,10?

La vremea respectivă, aveam un respect nemărginit pentru testele de inteligență. Atât de naiv eram pe atunci.

Am răsucit problema pe toate pe părțile. Singura idee care mi se părea logică era să găsesc o formulă matematică, pentru că aveam de-a face cu numere. Desigur, răspunsul “toate numerele prezentate sunt divizibile cu 3” nu era corect, pentru că 10 nu este divizibil cu 3. După 30 de minute, m-am dat bătut. Nu știam să răspund. Care era răspunsul, totuși?

Numele tutoror celor 5 numere sunt formate din fix 4 litere:
ZERO
TREI
ȘASE
NOUĂ
ZECE

Răspunsul m-a șocat atunci. Acum, privind în urmă, îmi dau seama că este vorba doar despre o înșelătorie. Acea proprietate nu este a numerelor, adică nu depinde doar de numere, ci și de limbă. Răspunsul este valabil în limba Română, dar nu și în Engleză.

ZERO
ONE
TWO
THREE
SIX
NINE
TEN

Nu este o problemă de Matematică, ci o întrebare de genul celor pe care și le puneau tinerii, la șezătoare, pe vremea lui Coșbuc. Este înșelătorie curată, mascată sub numele de “întrebare de perspicitate” sau “test de inteligență”.

Există un singur lucru pe care-l regret : că nu m-am ridicat când am văzut natura testului. Te rog frumos, fii mai deștept decât am fost eu! Dacă primești, la testul de angajare, întrebarea asta, sau una de genul ei, ridică-te și pleacă. Nu te certa cu ei. Dacă ei îți promit 3000 de dolari pe lună, s-ar putea să trebuiască să mergi pe Lună ca să-i ridici, iar ei să-ți spună : “doar te-am anunțat că erau 3000 de dolari pe Lună!” Este ceva asemnănător cu ce fac anumiți vânzători pe la mare, vara : pun prețul gen 6,99 per kilogram, dar fac cifra 9 să semene cu un 0.

Sunt nedrept. De fapt, chiar este un test de inteligență. Pentru că cineva inteligent își amintește proverbul: Un nebun aruncă o piatră într-o baltă și o sută de înțelepți nu pot s-o scoată.

Apropo, știi ce trebuie să calci prima dată? Vizitează link-ul de mai jos – preventiv, ca să nu ai surprize la angajare.

http://matematicaesimpla.com/test-la-spitalul-de-nebuni/

Cum ajungi cu avionul de la Tokyo la Chitila Haltă

În rândurile de mai jos este o adaptare a unei probleme de matematică dintr-un manual. Este adaptată și indicația oferită în acel manual.

Problema:
Cum ajungi cu avionul de la Tokyo la Chitila Haltă?

Indicație:
În Tokyo, te urci într-un avion care ajunge în România.

Un elev care are nevoie de indicații la o astfel de problemă va fi cel puțin derutat de sfatul primit. Elevul se așteaptă ca indicația să-l ajute, nu să-l deruteze mai tare. Ce se gândește elevul? “Mă urc în avionul de România, dar unde cobor? În Chitila Haltă nu există aeroport! Ce fac? Sar cu parașuta?”

Problema nu obligă elevul să meargă DOAR cu avionul. Avionul este sugerat în problemă ca alternativă la vapor, dar nu neapărat ca mijloc de transport pe întregul drum.

Soluția este foarte simplă:
– mergi cu avionul de la Tokyo la Otopeni
– mergi cu un tren de la Otopeni la Gara de Nord
– mergi cu alt tren, personal, de la Gara de Nord la Chitila Haltă

(A fost reparată cu ceva ani în urmă o mare nedreptate socială. Bogatul mergea cu mașina personală, iar navetistul mergea cu trenul personal. Deoarece un tren este mult mai scump decât o mașină, bogații, din invidie, au făcut presiuni ca trenurile personale să-și schimbe numele. Acum, ele se numesc trenuri Regio.)

Cum arată problema de Matematică, foarte asemnănătoare cu povestea de mai sus?

Să se calculeze : 1 + 2 + … + 9 + 10 + 10,15 + 0
Indicație : se folosește formula pentru calculul sumei primelor n numere naturale.
Adică, această formulă:
http://matematicaesimpla.com/formule-suma-primelor-n-numere-naturale/

La care elevul : “Păi, 10,15 nu este număr natural! Cum aplic formula?”
Răspuns:
Formula se aplică pentru 1 + 2 + … + 9 + 10,
nu pentru 1 + 2 + … + 9 + 10 + 10,15.

1 + 2 + … + 9 + 10 = Tokyo – Otopeni (avionul = formula)
+ 10, 15 = Otopeni – Gara de Nord (trenul 1)
+ 0 = Gara de Nord – Chitila Haltă (trenul 2)

Culmea e că elevul știe toți pașii dacă îi sunt prezentați corespunzător.

Știai că pentru elevi există doar indicații vagi în manuale, pe când pentru profesori există rezolvarea completă a tutoror problemelor din manual?

Exemplu:
http://www.librarie.net/p/50956/Algebra-Clasa-Rezolvarea-problemelor-din-manualul-pentru-programele-Manual-editat

Cand eram in clasa a IX-a, acest manual se vindea doar pe sub mana, doar profesorilor. Foarte putini elevi știau de el. Iar acea carte are aceiași autori ca și manualul original, care știu cel mai bine cum să rezolve problemele, din moment ce chiar ei le-au conceput! Ambii sunt profesori de prestigiu și toată lumea îi cunoaște – singurul lucru pe care puțini îl știu este că există un astfel de carte!

Citat de pe site-ul de mai sus:

“Cartea contine rezolvarile complete si detaliate ale problemelor de algebra din manualul de Matematica, clasa a IX-a, editat de catre Editura Didactica si Pedagogica.”

Dacă vezi vreodată un elev ținând manualul în mână, uitându-se la cer și strigând “De ce? De ce manualul meu n-are decât indicații, și doar la anumite probleme?”, te rog să-i dai link-ul de mai sus.

Unii poate se gândesc că există riscul ca elevul să copieze rezolvarea completă dintr-o astfel de carte, și să nu-și mai facă tema. Dacă ne gândim așa, există riscul ca elevul să învețe teorema lui Pitagora prea ușor dacă i-o spunem direct. Am putea doar să-i sugerăm că Pitagora a inventat o teoremă despre un triunghi dreptunghic, dar să nu dăm amănunte. Să-i lăsăm neatinsă bucuria reinventării roții în epoca zborului cosmic.

Câți ani are căpitanul?

Pe un vapor, sunt 30 de rațe și 25 de gâște. Câți ani are căpitanul?

Această problemă, foarte simplă în aparență, a fost oferită spre rezolvare unor copii de clasa a IV-a. Aproape toți au răspuns : 55! (adică 30 + 25). De unde au obținut acest număr? Au combinat, în cel mai logic fel, numerele date. AMBELE numere! Pentru că școala le-a oferit doar probleme care foloseau obligatoriu toate detaliile.

Este ca și cum înveți un copil să mănânce tot ce e are în farfurie și îl cerți dacă nu mănâncă tot. Copilul, pănă la urmă, ajunge să mănânce tot, de fiecare dată. Problema e că nu mai este motivat să judece ce mănâncă. Dacă-i pui șurburi lângă piure, o să le mănânce și pe ele, pentru că sarcina lui este să mânânce tot.

Răspunsul corect la întrebarea despre vârsta căpitanului este : Nu se poate afla vârsta doar din detaliile oferite.

Multe probleme reduc și mai mult numărul de întrebări pe care și le poate pune copilul. Probleme care încep cu “Să se arate …” sugerează foarte explicit că în mod sigur rezultatul este exact cel dat. E ca și cum i-ai spune “Să știi că filmul pe care o să-l vezi are final fericit!”. Nu-i spui cum se termină, dar distrugi plăcerea de-al mai urmări.

Rezolvarea unei probleme este o căutare a unei soluții. În viața reală, de multe ori, nu știi dacă problema are rezolvare. Dacă te înveți doar cu probleme care știi că au rezolvare, se pierde ceva din farmecul Matematicii. Dacă știi că personajul negativ oricum va fi prins, nu mai există emoția pe care o simți când personajul pozitiv este în pericol – știi clar cum se termină.

Există și situația inversă, când anumite elemente inutile din enunț bulversează complet elevul, pentru că nu este pregătit și pentru acea situație. Mai multe în episodul Teorema lui Pitagora și triunghiul violet.

Cel mai descurajant tip de enunț, care este produs de persoane atât de plictisite de Matematică încât nu mai vor să scrie apelurile la acțiune este ceva de genul: Într-un triunghi echilateral, toate medianele sunt congruente.

Cunosc pe cineva care, de disperare că părinții nu-l lăsau la joacă până nu făcea 10 probleme de geometrie, a adăugat cu creionul câte un semn de întrebare după fiecare astfel de enunț, după care a răspuns scurt cu un DA la fiecare. Desigur, a mai pierdut vremea, citind ceva plăcut, vreo oră, ca să nu pară suspect că a terminat 10 probleme în mai puțin de 1 minut.

Enuntul complet ar fi trebuit să fie:
Să se arate că într-un triunghi echilateral, toate medianele sunt congruente.

Desigur, un elev atent ar fi sesizat nuanța: într-UN triunghi, nu în toate. Adică, ar fi desenat un triunghi echilateral, ar fi măsurat cu rigla medianele, și ar fi zis: În ACEST triunghi echilateral, toate medianele sunt congruente.

Este ca întrebarea Aveți un ceas? la care unii răspund cu DA, în loc să spună cât e ora.

Cum știi care detalii dintr-o problemă sunt utile și cum afli dacă ai toate detaliile care-ți trebuie? Răspunsul la a doua întrebare este banal: dacă ești la teză sau examen, problema are toate detaliile necesare. Garantat! Dacă ai reușit să rezolvi problema, și ți-au rămas numere din enunț nefolosite, sunt 99% șanse că ai greșit sau uitat ceva și e bine să verifici rezolvarea. Este ca și cum ți-ai desfăcut telefonul mobil și ți-au rămas șuruburi când l-ai montat la loc. Mai nou, fabricanții de telefoane mobile nici nu mai prind carcasa în șuruburi ca să fie siguri că nu-ți rămân șuruburi în plus. 😉

1% este diferența dintre un profesor care vrea să te facă să gândești și unul care-ți dă teste de tip grilă, să le poată corecta mai repede, să scape de o grijă. Nu te supăra pe el! Cu cât o să ajungă acasă mai repede, cu atât mai mult timp o să aiba nevasta să-l certe pentru cât de mic e salariul pe care-l aduce la sfârsitul lunii.

PI e gresit!

PI e greşit! Zilele trecute s-a constatat ca PI e greşit şi că trebuie să se renunţe la el. Sute de ani, matematicienii au încercat din răsputeri să afle valoarea corectă a lui PI.

Munca lor se pare că a fost în zadar.

Află mai exact de ce PI e greşit.

Întrebări capcană : Cât fac 1 împărţit la 0?

Operaţia “1 împărţit la 0” se numeşte fără sens deoarece nu are niciun rezultat. Dacă împărţit la 0 ar face x, atunci x * 0 ar face 1, adică 0 ar face 1.

Deci, 1 împărţit la 0 este o operaţie care nu se poate efectua.

În cazul limitelor de şiruri, nu este vorba despre “1 împărţit la 0”, ci despre o limită dintr-o fracţie, unde numărătorul converge la 1 iar numitorul converge la 0. În acest caz, şirul converge la + infinit.
Este incorect de spus că “şirul converge la 1 împărţit la 0”.

Întrebări capcană : Cât fac 0 împărţit la 0?

Rezultatul unei operaţii este unic. Dacă 0 împărţit la 0 ar face un număr x, atunci x * 0 ar trebui să dea 0. Având în vedere că orice număr x verifică egalitatea de mai sus, înseamnă că rezultatul operaţiei 0 împărţit la 0 nu este unic.

De aceea, se consideră că operaţia 0 împărţit la 0 este fără sens (adică, în limbaj uzual, “nu se poate face“).

Întrebări capcană : Ce e mai greu, un kilogram de plumb sau unul de alumimiu?

1 kilogram de orice = 1 kilogram de orice altceva.
1 kilogram de plumb = 1 kilogram de aluminiu, deci ambele sunt la fel de grele.

Când aud întrebarea “Ce e mai greu, un kilogram de plumb, sau unul de aluminiu?”, mulţi îşi imaginează că au fost întrebaţi “Ce e mai greu, un cub cu latura de 1 metru, plin cu plumb, sau un cub cu latura tot de 1 metru, plin cu aluminiu?” În acest caz, cubul plin cu plumb este mai greu.

Cuvântul “greu” se referă la masa obiectului. Plumbul are densitate mai mare decât aluminiul (deci la acelaşi volum, plumbul este mai greu). Dacă masele sunt egale, 1 kilogram de plumb ocupă un spaţiu (volum) mai mic decât unul de aluminiu.

Premiu:
La o şcoală generală, învăţătoarea testează nivelul elevilor, folosind întrebări capcană.
– Ce e mai greu, un kilogram de plumb, sau unul de aluminiu?
Vizitează link-ul de mai jos pentru continuarea bancului.
http://bancuri.cc