Cum să înveţi formule de matematică

1. Învaţă numele formulei, odată cu formula.
Unele formule au nume, altele nu. Numele formulei poate fi numele autorului sau ceva care iţi aminteşte la ce foloseşte formula.
Exemple de formule care au nume:

  • Teorema lui Pitagora
  • Teorema catetei
  • Aria cercului

Exemplu de formule fără nume:

  • Primitivă din x = (x ^ 2 ) 2

2. Învaţă şi desenul asociat formulei (dacă există)
De exemplu, teorema catetei are asociat un desen cu un triunghi dreptunghic, în care se văd catetele şi proiecţiile lor pe ipotenuză.

3. Învaţă elementele componente ale formulei (adică, să ştii despre cine se vorbeşte în formulă)
Exemplu:
V = A * h
unde:
V = volumul prismei
A = aria bazei prismei
h = înălţimea prismei

4. Învaţă condiţiile de valabilitate
Exemplu:
A = P * h
unde:
A = aria laterală a prismei
P = perimetrul bazei prismei
h = înălţimea prismei
Formula de mai sus este valabilă (doar) pentru prisme drepte.

5. Învaţă formula, nu doar literele. Adică scrie formula şi cu alte litere. Ştii cu adevărat o formulă atunci când o recunoşti, indiferent cu ce litere este îmbrăcată.
Exemple:
Formulele de mai jos sunt de fapt una şi aceeaşi.
(a + b)^2 = a^2 + 2*a*b + b^2
(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2

Drepte importante in triunghi

Există 4 categorii de drepte importante într-un triunghi. 3 categorii de drepte care pleacă dintr-un vârf şi o categorie de drepte care nu pleacă dintr-un vârf.

Mediana este dreapta care pleacă dintr-un vârf şi trece prin mijlocul laturii opuse.
Bisectoarea este dreapta care pleacă dintr-un vârf şi împarte acel vârf în două părţi egale.
Înălţimea este dreapta care pleacă dintr-un vârf şi este perpendiculară pe latura opusă.

Mediatoarea este dreapta care este perpendiculară pe un segment şi trece prin mijlocul segmentului.

Mediatoarea este o noţinue specifică unui segment. Adică, orice segment are o mediatoare, indiferent dacă segmentul face parte dintr-un triunghi sau nu.

Bisectoarea este o noţinue specifică unui unghi. Adică, orice unghi are o bisectoare, indiferent dacă unghiul face parte dintr-un triunghi sau nu.

Înălţimea şi mediana sunt noţiuni specifice unui triunghi, şi nu există doar pentru segmente sau unghiuri, dacă sunt luate separat.

Ce înseamnă radical de ordinul n dintr-un număr a?

Întrebarea originală este “ce înseamnă radical de ordinul x dintr-un număr?

Spunem că x este radical de ordinul n din a dacă sunt îndeplinite TOATE 3 condiţiile de mai jos:
Condiţia 1 : n este număr natural, mai mare sau egal cu 2.
(În general, numerele naturale se notează cu n.)
Condiţia 2 : x la puterea n ne dă a
Condiţia 3 : x are acelaşi semn cu a

Important:

  • Dacă n este par, atunci există radical de ordinul n din a doar dacă a este pozitiv sau 0.
  • Dacă n este impar, atunci există radical de ordinul n din a, indiferent cum este a (pozitiv, negativ sau 0)

Nu există :

  • radical de ordinul 0 (dacă n = 0, atunci n nu este mai mare decât 2)
  • radical de ordinul 1 (dacă n = 1, atunci n nu este mai mare decât 2)
  • radical de ordinul -3 (dacă n = -3, atunci n nu este natural)
    (Nu există niciun radical de ordin negativ)
  • radical de ordinul 0,7 (dacă n = 0,7 , atunci n nu este natural)
    (Nu există niciun radical de ordin raţional, dar nu natural)
  • radical de ordinul PI (dacă n = PI , atunci n nu este natural)
    (Nu există niciun radical de ordin iraţional)

Cum se notează:
Radicalul de ordinul 2 se notează, de obicei, fără 2.
Deoarece radicalul de ordinul 2 este cel mai des folosit, nu mai scriem cifra 2. Ceva asemănător se întâmplă cu numerele pozitive : scriem 7, nu +7.
Când spunem “radical din 5”, de fapt ne referim la “radical de ordinul 2 din 5”, adică la numărul pozitiv care ridicat la puterea a doua ne dă 5.

Cum se numesc:

  • radicalul de ordinul n se mai numeşte şi “rădăcina de ordinul n”
  • radicalul de ordinul 2 se mai numeşte şi “rădăcină de ordinul 2”, sau chiar “rădăcină pătrată”
  • radicalul de ordinul 3 se mai numeşte şi “rădăcină de ordinul 3”, sau chiar “rădăcină cubică”

Exemple:

0 la puterea 2 = 0, deci radical (de ordinul 2) din 0 este 0.
Apropo, radical de orice ordin din 0 este 0.

1 la puterea 2 = 1, deci radical (de ordinul 2) din 1 este 1.
Apropo, radical de orice ordin din 1 este 1.

3 la puterea 2 = 9, deci radical (de ordinul 2) din 9 este 3.

5 la puterea 3 = 125, deci radical de ordinul 3 din 125 este 5.
(-5) la puterea 3 = -125, deci radical de ordinul 3 din -125 este -5.

Ce confuzii apar?
(-3) la puterea 2 = 9. De ce radical (de ordinul 2) din 9 nu face şi -3?
Radicalul dintr-un număr este unic. Condiţia 3 ne spune că dintre -3 şi 3 trebuie să-l alegem pe cel care are acelaşi semn cu 9. De aceea, radical (de ordinul 2) din 9 este egal cu 3, şi nu cu -3 sau, mai rău, cu 3 sau -3.

Noţiuni de bază : Partea întreagă a unui număr

Orice număr real este format dintr-o parte întreagă şi o parte zecimală.

Partea întreagă a lui x se notează cu [x]. Partea fracţionară a lui x se notează cu {x}.

x = [x] + {x}

Partea întreagă a oricărui număr este un număr întreg.

Partea fracţionară este întodeauna cuprinsă între 0 şi 1.
Poate fi 0 dar nu poate fi 1.
Adică,
{x} aparţine intervalului [0;1),

Exemple:
– pentru numere naturale:
Exemplul 1:
x = 0
[0] = 0
{0} = 0
0 = 0 + 0

Exemplul 2:
x = 7
[7] = 7
{7} = 0
7 = 7 + 0

– pentru numere întregi
Exemplul 3:
x = -7
[-7] = -7
{-7} = 0
-7 = -7 + 0

– pentru numere raţionale
Exemplul 4:
x = 7,9
[7,9] = 7
{7,9} = 0,9
7,9 = 7 + 0,9

Exemplul 5:
x = -7,9
[-7,9] = -8
{-7,9} = 0,1
-7,9 = -8 + 0,1


Cum calculăm partea întreagă pentru numere cu virgulă?
Partea întreagă a lui x este numărul întreg aflat pe axă imediat la stânga numărului x.

Dacă x este între n şi n + 1, unde n este număr întreg, atunci
[x] = n

După ce am identificat partea întreagă, parte zecimală o calculăm cu formula:
{x} = x – [x]

– pentru numere iraţionale
Exemplul 6:
x = PI = 3,14…
[PI] = 3
{PI} = 0,14…
3,14… = 3 + 0,14…

Exemplul 7:
x = radical din 7
Ideea este să găsim două numere întregi consecutive care să-l “încadreze” pe radical din 7.
Adică n < radical din 7 < n + 1.
Ridicând la pătrat membru cu membru, obţinem:
n^2 < 7 < (n +1)^2
Cum 4 < 7 < 9, rezultă că n^2 = 4, deci n = 2.
Aşadar,
[radical din 7] = 2
{radical din 7} = (radical din 7) – 2
radical din 7 = 2 + (radical din 7) – 2

Exemplul 8: Numere subunitare, exprimate în formă zecimală
Fie x = 0,7
[0,7] = 0
{0,7} = 0,7
0,7 = 0 + 0,7

Exemplul 9: Numere subunitare, exprimate în formă ordinară
Fie x = 7/8
[7/8] = 0
{7/8} = 7/8
7/8 = 0 + 7/8
Nu este obligatoriu ca partea zecimală să fie scrisă sub formă de fracţie zecimală. Partea zecimală înseamnă, pur si simplu, ce rămâne din număr după ce se decupează partea întreagă.
Seamană cu scoarţa unui copac, care se obţine din copac după ce se elimină trunchiul.

Integrale (ne)definite

Integrala nedefinită este o funcţie, pe când integrala definită este un număr.
Integrala nedefinită se mai numeşte şi primitivă.

Legătura dintre ele este dată de formula Leibniz-Newton:

Aplicaţii practice ale integralei definite:
– calculul unor lungimi, arii şi volume pentru care nu există alte formule mai simple

În practică se foloseşte valoarea aproximativă a integralelor definite.
Pornind de la o funcţie, putem ajunge la valoarea aproximativă a integralei definite în două feluri:

  • metoda clasică (mai dificilă, în general şi nu întotdeauna aplicabilă)
    1. Pasul 1 : Calculăm primitiva (dacă funcţia ARE primitivă)
    2. Pasul 2 : Calculăm integrala definită (folosind formula Leibniz-Newton)
    3. Pasul 3 : Calculăm valoarea aproximativă a integralei definite, obţinute la Pasul 2.
  • metoda modernă (care foloseşte calculatorul)
    1. Pasul 1 (şi singurul) : Calculăm direct valoarea aproximativă, fără a calcula integrala, folosind metoda metoda trapezului.

Noţiuni de bază : Despre aproximări

1. De ce nu folosim întotdeauna valoarea exactă a unui număr?
Din mai multe motive:

  • numărul are o infinitate de zecimale, iar programul de lucru are 8 ore.
  • aparatele de măsură au o precizie limitată. Spre exemplu, un cântar de persoane măsoară cu o precizie de 1 kg în plus sau în minus (deci dacă arată 120 de kilograme, aveţi o greutate între 119 şi 121 kilograme – oricum, e cazul să slăbiţi)

2. Cu câte zecimale facem aproximarea?
Depinde de situaţie. De exemplu, dacă facem o cuşcă pentru Grivei, nu contează prea mult dacă lungimea este 1,8 metri sau 1,81 metri, sau 1,81795322343 metri – Grivei va fi satisfăcut că are unde să se ascundă în caz de ploaie.
Pe de altă parte, dacă facem o operaţie pe ochi şi greşim cu 3 centimeri, riscăm să operăm vârful nasului în locul ochiului.

3. Este adevărat că orice număr se poate considera o aproximare a oricărui alt număr?
Da. De exemplu, 200 este o valoare aproximativă a lui 2. Pentru ca o aproximare să fie utilă, este necesară şi precizarea preciziei. De exemplu, 200 este o aproximare prin adaos a lui 2, cu o precizie de 9900% – mult prea mare pentru ca să constituie o aproximare UTILĂ.

A se vedea şi articolul
“1.41 ESTE o valoare aproximativă a lui PI”.

Noţiuni de bază : Cerc, disc, interiorul cercului, exteriorul cercului

Tăiem o portocală pe mijloc şi obţinem două jumătăţi. Tăiem o felie foarte subţire dintr-o jumătate şi o punem pe masă.

Cerc = coaja (portocaliu închis)
Interiorul cercului = miezul (portocaliu)
Disc = felia cu totul (coajă + miez)

Exteriorul cercului = tot ce este în afara portocalei, adică masa, mai puţin portocala (galben).

Aşa cum spunea cineva, cercul este “conturul cercului”.

Noţiuni de bază : Asemănare, echivalenţă şi congruenţă

Dacă două triunghiuri au aceeaşi formă, ele se numesc triunghiuri asemenea. (adică, seamănă unul cu altul).
Dacă două triunghiuri au aceeaşi mărime (arie, suprafaţă), ele se numesc triunghiuri echivalente (adică, dacă ar fi făcute din tablă, ar fi la fel grele).

Dacă două triunghiuri au aceeaşi formă şi aceeaşi mărime, ele se numesc triunghiuri congruente (adică, se pot suprapune perfect).


Dacă desenăm un triunghi, putem obţine:

  • un triunghi congruent, cu COPY şi PASTE
  • un triunghi asemenea, cu COPY, RESIZE (micşorăm sau mărim) şi PASTE

E bine de ştiut:
1. Două triunghiuri pot fi congruente şi dacă nu sunt în aceeaşi poziţie

2. Două triunghiuri pot fi asemenea şi fără să se atingă sau sa fie unul intr-altul

Există şi poligoane congruente, poligoane asemenea şi poligoane echivalente.

Noţiuni de bază : Modulul

Modulul unui număr este mărimea numărului şi se notează cu |număr|.
Orice număr este format din semn şi mărime.

Exemple:
-7
semnul este –
modulul este 7

+7
semnul este +
modulul este 7

7
semnul este +
modulul este 7

Excepţie:
0 nu are semn
modulul este 0

Important:
Dacă semnul lipseşte, atunci se consideră că este +. Deoarece numerele pozitive sunt folosite mult mai des decât cele negative, este mai uşor să nu punem semnul + dacă se înţelege din context că numărul este pozitiv.

Exemplu:
O persoană are 18 ani. Se înţelege că are + 18 ani.

Modulul este întotdeauna pozitiv sau 0.

De ce crede lumea că modulul poate şi negativ?
Citat din formula modulului:
“|x| = -x dacă x < 0”
Lumea crede că orice numar cu – în faţă este negativ. Acest lucru este fals.
Exemplu:
– (-7) are – în faţă, dar în final face +7
|-7| = -(-7) = 7 (deci este pozitiv)

De ce nu se spune simplu că modulul este numărul fără semn, ci se foloseşte o formulă complicată?
Definiţia din manual este în limbaj matematic, pe când definiţia de mai jos este în limbaj popular.
Dacă semnul – sau semnul + reprezintă “coaja” numărului, atunci modulul reprezintă “miezul” lui.