Noţiuni de bază : Partea întreagă a unui număr

Orice număr real este format dintr-o parte întreagă şi o parte zecimală.

Partea întreagă a lui x se notează cu [x]. Partea fracţionară a lui x se notează cu {x}.

x = [x] + {x}

Partea întreagă a oricărui număr este un număr întreg.

Partea fracţionară este întodeauna cuprinsă între 0 şi 1.
Poate fi 0 dar nu poate fi 1.
Adică,
{x} aparţine intervalului [0;1),

Exemple:
– pentru numere naturale:
Exemplul 1:
x = 0
[0] = 0
{0} = 0
0 = 0 + 0

Exemplul 2:
x = 7
[7] = 7
{7} = 0
7 = 7 + 0

– pentru numere întregi
Exemplul 3:
x = -7
[-7] = -7
{-7} = 0
-7 = -7 + 0

– pentru numere raţionale
Exemplul 4:
x = 7,9
[7,9] = 7
{7,9} = 0,9
7,9 = 7 + 0,9

Exemplul 5:
x = -7,9
[-7,9] = -8
{-7,9} = 0,1
-7,9 = -8 + 0,1


Cum calculăm partea întreagă pentru numere cu virgulă?
Partea întreagă a lui x este numărul întreg aflat pe axă imediat la stânga numărului x.

Dacă x este între n şi n + 1, unde n este număr întreg, atunci
[x] = n

După ce am identificat partea întreagă, parte zecimală o calculăm cu formula:
{x} = x – [x]

– pentru numere iraţionale
Exemplul 6:
x = PI = 3,14…
[PI] = 3
{PI} = 0,14…
3,14… = 3 + 0,14…

Exemplul 7:
x = radical din 7
Ideea este să găsim două numere întregi consecutive care să-l “încadreze” pe radical din 7.
Adică n < radical din 7 < n + 1.
Ridicând la pătrat membru cu membru, obţinem:
n^2 < 7 < (n +1)^2
Cum 4 < 7 < 9, rezultă că n^2 = 4, deci n = 2.
Aşadar,
[radical din 7] = 2
{radical din 7} = (radical din 7) – 2
radical din 7 = 2 + (radical din 7) – 2

Exemplul 8: Numere subunitare, exprimate în formă zecimală
Fie x = 0,7
[0,7] = 0
{0,7} = 0,7
0,7 = 0 + 0,7

Exemplul 9: Numere subunitare, exprimate în formă ordinară
Fie x = 7/8
[7/8] = 0
{7/8} = 7/8
7/8 = 0 + 7/8
Nu este obligatoriu ca partea zecimală să fie scrisă sub formă de fracţie zecimală. Partea zecimală înseamnă, pur si simplu, ce rămâne din număr după ce se decupează partea întreagă.
Seamană cu scoarţa unui copac, care se obţine din copac după ce se elimină trunchiul.

Întrebări capcană : Cât fac 1 împărţit la 0?

Operaţia “1 împărţit la 0” se numeşte fără sens deoarece nu are niciun rezultat. Dacă împărţit la 0 ar face x, atunci x * 0 ar face 1, adică 0 ar face 1.

Deci, 1 împărţit la 0 este o operaţie care nu se poate efectua.

În cazul limitelor de şiruri, nu este vorba despre “1 împărţit la 0”, ci despre o limită dintr-o fracţie, unde numărătorul converge la 1 iar numitorul converge la 0. În acest caz, şirul converge la + infinit.
Este incorect de spus că “şirul converge la 1 împărţit la 0”.

Întrebări capcană : Cât fac 0 împărţit la 0?

Rezultatul unei operaţii este unic. Dacă 0 împărţit la 0 ar face un număr x, atunci x * 0 ar trebui să dea 0. Având în vedere că orice număr x verifică egalitatea de mai sus, înseamnă că rezultatul operaţiei 0 împărţit la 0 nu este unic.

De aceea, se consideră că operaţia 0 împărţit la 0 este fără sens (adică, în limbaj uzual, “nu se poate face“).

Unităţi de măsură pentru aur

Aurul se măsoară în carate. O carată reprezintă numărul de părţi de aur, dintr-un total de 24 de părţi.

Pentru aur, carata exprimă calitatea, nu cantitatea.

Exemple :

  • un inel de aur, de 8 carate are o concentraţie de aur de 8/24  = 0.333 = 33,3% aur.
    De aceea, în cazul aurului de 8 carate, găsim gravat numărul 335 (care este o aproximare a lui 335)
  • un inel de aur, de 14 carate are o concentraţie de aur de 14/24  = 0.583 = 58,3% aur.
    De aceea, în cazul aurului de 14 carate, găsim gravat numărul 585 (care este o aproximare a lui 583)
  • un inel de aur, de 18 carate are o concentraţie de aur de 18/24  = 0.750 = 75,0% aur.
    De aceea, în cazul aurului de 14 carate, găsim gravat numărul 585 (care este o aproximarea lui 583)
  • un inel de aur, de 24 carate are o concentraţie de aur de 24/24  = 1 =  100% aur.

Formula volumului sferei

Volumul sferei de rază R este:

O sferă este o jumătate de cerc rotit în jurul axei Ox. O jumătate de sferă este un sfert de cerc rotit în jurul axei Ox.

Formula volumului de rotaţie este:

Formula sfertului de cerc este:

Efectuând calculele, obţinem formula volumului sferei: