Noțiuni de coșmar : construcții auxiliare

Din când în când, în rezolvarea unei probleme se spune “folosim o construcție auxiliară”. Nu am văzut, nici măcar o dată, o explicație despre cum i-ar fi putut veni acea idee unui elev sănătos la cap.

O rezolvare din manual / culegere conține partea de “cum să faci”. Dar, ca să înveți Matematică cu adevărat, este vital să întelegi și partea de “de ce”.

Ca să-ți vină ideea unei construcții auxiliare, sunt două variante:
– autorul problemei îți explică de ce a construit problema în acel fel
– ai mai văzut o situație asemănătoare, în altă problemă.

Ce este o construcție auxiliară? Este o linie, sau arc de cerc, sau orice altă figură geometrică, ce nu apare în figura inițială, dar care, o dată desenată, te ajută să vezi mai clar cum ajungi la finalul rezolvării.

Uite un exemplu din viața reală: vrei să te urci în pod. Nu poți să sari direct în pod, pentru că distanța dintre sol și pod este prea mare. Ai nevoie de ceva care să te ajute să poți ajunge de la sol la pod, ceva care nu se găsește în figura inițială. Ai nevoie de o scară. Scara este, în această situație, construcția auxiliară.

index

Dacă ești copil și nu ai auzit vreodată de scară, nu o știi ce să faci în această situație. Dar, după ce îl vezi pe bunicul că aduce o scară de fiecare dată când se urcă în pod, o să știi foarte clar ce-ți trebuie data viitoare când o să vrei să te urci și tu în pod.

De ce construcțiile auxiliare reprezintă noțiuni de coșmar? Pentru că, neexplicate, erodează încrederea elevului în propriile forțe. Adică, elevul se gândește “Nu m-ar fi dus capul să fac o astfel de construcție”. Ceea ce nu i-a spus nimeni acelui elev este că nu trebuie să reinventeze nici roata, nici scara, nici alte construcții auxiliare, ci doar să afle despre ele.

Dacă nu înțelegi de ce s-a rezolvat într-un anume fel o problemă, deși întelegi fiecare pas, atunci rezolvarea pe care o ai în față nu este completă. Este ca un manual de folosire a mașinii de spălat, nu ca manualul de reparare a mașinii de spălat. Manualul de folosire îți spune cum să folosești mașina, dar doar manualul de reparare îți spune cum funcționează de fapt mașina, pe dinăuntru. Manualul de reparare este mult mai greu de găsit și mult mai scump decât manualul de folosire.

În episodele următoare, o să discutăm câteva construcții auxiliare, împreună cu motivele pentru care au fost create.

Premiu : La ce folosește bicicleta?
http://matematicaesimpla.com/la-ce-foloseste-bicicleta/

 

Cât de simplă este o problemă scurtă?

Dintr-un motiv care nu are o explicație științifică, mulți cred că dacă o problemă are un enunț scurt, atunci problema este foarte simplă.

Uite mai jos două exemple celebre:
1 : Să se descompună în doi factori primi un număr natural.
Exemplu:
123018668453011775513049495838496272077285356959533479219732245215172640050726365751874520219978646389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413, a fost descompus în:
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489
înmulțit cu
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917

Mai multe amănunte aici:
http://www.emc.com/emc-plus/rsa-labs/historical/rsa-768-factored.htm

Cei care au făcut această descompunere au câștigat un premiu substanțial. Că tot veni vorba, dacă s-ar descoperi o formulă gen “algorimul lui Euclid” pentru descompunerea în factori primi a oricărui număr din 2048 de cifre, toată securitatea site-urilor care se bazează pe certificate SSL s-ar duce de râpă brusc.

2 : Să se arate că ecuația x^n + y^n = z^n nu are soluții în numere întregi, dacă n > 2.
Această ecuație numită “Marea Teoremă a lui Fermat” a chinuit sute de ani mințile multor matematicieni celebri. Până la urmă, cineva a demonstrat această teoremă – demonstrația având câteva zeci bune de pagini.

Uneori, chiar și în manuale se găsesc probleme fioroase, care au un enunț scurt. Așa că, data viitoare, când vezi o problemă cu un enunț scurt, nu-ți fă nervi dacă nu reușești s-o rezolvi în 10 minute.