Matematica E Simpla

Întrebarea originală este: “Care sunt unităţile litrului?“.

Litrul se notează cu l şi este o unitate de măsură pentru volum.

Multiplii litrului sunt:
decalitrul (dal), hectolitrul (hl) şi kilolitrul (kl).

Submultiplii litrului sunt:
decilitrul (dl), centilitrul (cl) şi mililitrul (ml).

Atenţie: decalitrul se notează dal, pentru că dl se foloseşte pentru decilitru.
Fiecare prescurtare este valabilă într-un anume context. De exemplu, la matematică dl înseamnă decilitru, pe când în scrisorile oficiale, dl înseamnă domnul.

Cât este fiecare?
1 dal = 10 l
1 hl = 100 l
1 kl = 1000 l

1 dl = 0,1 l
1 cl = 0,01 l
1 ml = 0,001 l

Ce relaţie există între multipli şi submultipli?
1 dal = 10 l = 100 dl = 1000 cl = 10000 ml
1 hl = 10 dal = 100 l = 1000 dl = 10000 cl = 100000 ml
1 kl = 10 hl = 100 dal = 1000 l = 10000 dl = 100000 cl = 1000000 ml

1 dl = 0,1 l = 0,01 dal = 0,001 hl = 0,0001 kl
1 cl = 0,01 l = 0,001 dal = 0,0001 hl = 0,00001 kl
1 ml = 0,001 l = 0,0001 dal = 0,00001 hl = 0,000001 kl

Vezi şi Multiplii şi submultiplii metrului.

Un număr exprimat printr-o fracţie zecimală este mai uşor de imaginat decât un număr exprimat printr-o fracţie ordinară.

Exemplu:

Din forma zecimală se vede clar că numărul nostru este cu aproximaţie 9000, lucru care nu este deloc evident dacă îl scriem ca fracţie ordinară.

Totuşi, în multe probleme se cere ca rezultatul să fie scris sub formă de fracţie ordinară. De ce? Pentru că fracţiile ordinare se pot simplifica prin înmulţire. Dacă rezultatul de la un subpunct al unui exerciţiu este folosit la alt subpunct, în cadrul unei înmulţiri, operaţia va fi mai simplă dacă este efectuată cu fracţii ordinare.

Exemplu:
Se vede uşor că :

dar nu este la fel de evident că:

Unii ecologişti ar putea spune, “Pentru că este natural şi nu are e-uri.” Aşa o fi?

Logaritmul natural este logaritmul în baza e. Cum poate un număr, care nici nu măcar nu este raţional, d’apoi întreg, să fie baza celui mai des folosit logaritm? Explicaţia e simplă. Logaritmul natural are cea mai simplă formulă de derivare, mai simplă chiar şi decât a logaritmului zecimal.

Logaritmii naturali se mai numesc şi “neperieni”. Cum arata logaritmii “perieni”? Nu exista aşa ceva. Cuvântul “Neperini” provine de la numele matematicianului “Napier”, cel care a inventat logaritmii. Dacă tot n-a primit bani pentru invenţia lui, măcar numele să-i rămână asociat cu logaritmii.
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier

Calculatoarele de buzunar au şi un buton pentru calculul logartimilor(sau chiar două, depinde de cât de mare a fost buzunarul celui care l-a cumpărat). Problema este că butoanele sunt :
lg pentru calculul logaritmului zecimal (în baza 10).
ln pentru calculul logaritmului natural (în baza e).

Cum calculăm logaritm în bază 3 din 5? Simplu, folosind formula de schimbare a bazei.

Bine, dar ln 5 nu este egal cu lg 5. Da, dar ln 5 / ln 3 este egal cu lg 5 / lg 3.

Uneori, radicalul se notează sqrt. Este prescurtarea de la SQuare Root (care înseamnă “rădăcină pătrată”). Radicalul de ordinul 2 se mai numeşte ştiinţific “radical de ordinul 2″ şi popular, “rădăcină pătrată?” Ce legătură există între numărul 2 şi cuvântul “pătrat”? Simplu, aria pătratului este egală cu latura la pătrat, …, pardon cu latura la puterea a doua.

Dacă nu înţelegi ce legătură este, un exemplu mai simplu este expresia “plouă cu găleata”. Ai văzut vreodată vreo găleată prin aer în timp ce ploua?

Derivata unei funcţii reprezintă “viteza de variaţie a funcţiei”.

• Dacă derivata este negativă, atunci funcţia are valori din ce în ce mai mici (adică, funcţia este descrescătoare).
• Dacă derivata este 0, atunci funcţia “se opreşte” în acel punct (adică, nici nu mai scade, nici nu mai creşte). Acel punct este un punct de minim sau de maxim.
• Dacă derivata este pozitivă, atunci funcţia are valori din ce în ce mai mari (adică, funcţia este crescătoare).

Funcţia logaritmică transformă produsul în adunare.
Exemplu:
ln (a * b) = ln a + ln b
În domeniul aparaturii audio/video, logaritmii se folosesc la exprimarea în decibeli.

Cu aproximaţie, radical din 5 face 2,23.
Radical din 2 este un număr iraţional.

Cu aproximaţie, radical din 2 face 1,41.
Radical din 2 este un număr iraţional.

Orice număr real este format dintr-o parte întreagă şi o parte zecimală.

Partea întreagă a lui x se notează cu [x]. Partea fracţionară a lui x se notează cu {x}.

x = [x] + {x}

Partea întreagă a oricărui număr este un număr întreg.

Partea fracţionară este întodeauna cuprinsă între 0 şi 1.
Poate fi 0 dar nu poate fi 1.
Adică,
{x} aparţine intervalului [0;1),

Exemple:
- pentru numere naturale:
Exemplul 1:
x = 0
[0] = 0
{0} = 0
0 = 0 + 0

Exemplul 2:
x = 7
[7] = 7
{7} = 0
7 = 7 + 0

- pentru numere întregi
Exemplul 3:
x = -7
[-7] = -7
{-7} = 0
-7 = -7 + 0

- pentru numere raţionale
Exemplul 4:
x = 7,9
[7,9] = 7
{7,9} = 0,9
7,9 = 7 + 0,9

Exemplul 5:
x = -7,9
[-7,9] = -8
{-7,9} = 0,1
-7,9 = -8 + 0,1

Cum calculăm partea întreagă pentru numere cu virgulă?
Partea întreagă a lui x este numărul întreg aflat pe axă imediat la stânga numărului x.

Dacă x este între n şi n + 1, unde n este număr întreg, atunci
[x] = n

După ce am identificat partea întreagă, parte zecimală o calculăm cu formula:
{x} = x - [x]

- pentru numere iraţionale
Exemplul 6:
x = PI = 3,14…
[PI] = 3
{PI} = 0,14…
3,14… = 3 + 0,14…

Exemplul 7:
x = radical din 7
Ideea este să găsim două numere întregi consecutive care să-l “încadreze” pe radical din 7.
Adică n < radical din 7 < n + 1.
Ridicând la pătrat membru cu membru, obţinem:
n^2 < 7 < (n +1)^2
Cum 4 < 7 < 9, rezultă că n^2 = 4, deci n = 2.
Aşadar,
[radical din 7] = 2
{radical din 7} = (radical din 7) - 2
radical din 7 = 2 + (radical din 7) - 2

Exemplul 8: Numere subunitare, exprimate în formă zecimală
Fie x = 0,7
[0,7] = 0
{0,7} = 0,7
0,7 = 0 + 0,7

Exemplul 9: Numere subunitare, exprimate în formă ordinară
Fie x = 7/8
[7/8] = 0
{7/8} = 7/8
7/8 = 0 + 7/8
Nu este obligatoriu ca partea zecimală să fie scrisă sub formă de fracţie zecimală. Partea zecimală înseamnă, pur si simplu, ce rămâne din număr după ce se decupează partea întreagă.
Seamană cu scoarţa unui copac, care se obţine din copac după ce se elimină trunchiul.