Noțiuni de coșmar : construcții auxiliare

Din când în când, în rezolvarea unei probleme se spune “folosim o construcție auxiliară”. Nu am văzut, nici măcar o dată, o explicație despre cum i-ar fi putut veni acea idee unui elev sănătos la cap.

O rezolvare din manual / culegere conține partea de “cum să faci”. Dar, ca să înveți Matematică cu adevărat, este vital să întelegi și partea de “de ce”.

Ca să-ți vină ideea unei construcții auxiliare, sunt două variante:
– autorul problemei îți explică de ce a construit problema în acel fel
– ai mai văzut o situație asemănătoare, în altă problemă.

Ce este o construcție auxiliară? Este o linie, sau arc de cerc, sau orice altă figură geometrică, ce nu apare în figura inițială, dar care, o dată desenată, te ajută să vezi mai clar cum ajungi la finalul rezolvării.

Uite un exemplu din viața reală: vrei să te urci în pod. Nu poți să sari direct în pod, pentru că distanța dintre sol și pod este prea mare. Ai nevoie de ceva care să te ajute să poți ajunge de la sol la pod, ceva care nu se găsește în figura inițială. Ai nevoie de o scară. Scara este, în această situație, construcția auxiliară.

index

Dacă ești copil și nu ai auzit vreodată de scară, nu o știi ce să faci în această situație. Dar, după ce îl vezi pe bunicul că aduce o scară de fiecare dată când se urcă în pod, o să știi foarte clar ce-ți trebuie data viitoare când o să vrei să te urci și tu în pod.

De ce construcțiile auxiliare reprezintă noțiuni de coșmar? Pentru că, neexplicate, erodează încrederea elevului în propriile forțe. Adică, elevul se gândește “Nu m-ar fi dus capul să fac o astfel de construcție”. Ceea ce nu i-a spus nimeni acelui elev este că nu trebuie să reinventeze nici roata, nici scara, nici alte construcții auxiliare, ci doar să afle despre ele.

Dacă nu înțelegi de ce s-a rezolvat într-un anume fel o problemă, deși întelegi fiecare pas, atunci rezolvarea pe care o ai în față nu este completă. Este ca un manual de folosire a mașinii de spălat, nu ca manualul de reparare a mașinii de spălat. Manualul de folosire îți spune cum să folosești mașina, dar doar manualul de reparare îți spune cum funcționează de fapt mașina, pe dinăuntru. Manualul de reparare este mult mai greu de găsit și mult mai scump decât manualul de folosire.

În episodele următoare, o să discutăm câteva construcții auxiliare, împreună cu motivele pentru care au fost create.

Premiu : La ce folosește bicicleta?
http://matematicaesimpla.com/la-ce-foloseste-bicicleta/

 

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Cât de simplă este o problemă scurtă?

Dintr-un motiv care nu are o explicație științifică, mulți cred că dacă o problemă are un enunț scurt, atunci problema este foarte simplă.

Uite mai jos două exemple celebre:
1 : Să se descompună în doi factori primi un număr natural.
Exemplu:
123018668453011775513049495838496272077285356959533479219732245215172640050726365751874520219978646389956474942774063845925192557326303453731548268507917026122142913461670429214311602221240479274737794080665351419597459856902143413, a fost descompus în:
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793878002287614711652531743087737814467999489
înmulțit cu
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666511279233373417143396810270092798736308917

Mai multe amănunte aici:
http://www.emc.com/emc-plus/rsa-labs/historical/rsa-768-factored.htm

Cei care au făcut această descompunere au câștigat un premiu substanțial. Că tot veni vorba, dacă s-ar descoperi o formulă gen “algorimul lui Euclid” pentru descompunerea în factori primi a oricărui număr din 2048 de cifre, toată securitatea site-urilor care se bazează pe certificate SSL s-ar duce de râpă brusc.

2 : Să se arate că ecuația x^n + y^n = z^n nu are soluții în numere întregi, dacă n > 2.
Această ecuație numită “Marea Teoremă a lui Fermat” a chinuit sute de ani mințile multor matematicieni celebri. Până la urmă, cineva a demonstrat această teoremă – demonstrația având câteva zeci bune de pagini.

Uneori, chiar și în manuale se găsesc probleme fioroase, care au un enunț scurt. Așa că, data viitoare, când vezi o problemă cu un enunț scurt, nu-ți fă nervi dacă nu reușești s-o rezolvi în 10 minute.

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Explicații ultrascurte : cercul trigonometric

Ce este și la ce folosește cercul trigonometric?

Când eram elev, numărul elevilor care știau să răspundă la această întrebare era egal cu raza acestui cerc. Însă nu întrebarea aceasta îi frământa pe colegi, ci alta mult mai complicată : de ce o noțiune este prezentată cu o mulțime de detalii fără a se spune într-o singură frază la ce folosește acea noțiune. Adică, o noțiune nouă să aibă o scurtă definiție și o mică explicație despre rolul acelei noțiuni.

Acesta este primul articol din seria de explicații ultrascurte. Aceste articole vor conține doar definiția și rolul noțiunii. Adică, o explicație ultrascurtă este ca un fel de reclamă TV pentru o noțiune : scurtă și la obiect. Mai mult, explicația va fi îngroșată, ca să o vezi direct dacă nu vrei și alte detalii.

Așa, deci ce este și la ce folosește cercul trigonometric?

Cercul trigonometric este un cerc de rază 1, cu centrul în origine. Se mai numește și cerc unitate sau cerc unitar.

Cercul trigometric este folosit în principal ca o modalitate simplă de a afla valorile pentru sinus și cosinus pentru următoarele unghiuri : 0 grade, 90 de grade, 180 de grade, 270 de grade, 360 de grade.

Mai are el și alte scopuri, dar, dacă nu o să devii cercetător în Matematică, rândul de mai sus este ce merită reținut despre cercul trigonometric.

Întrebare : ce rază are cercul trigonometric? Dacă ai răspuns orice număr în afară de 1, trebuie să bei mai puțină cafea și să citești mai rar rândurile de mai sus.

Restul despre cercul trigonometric în alte episoade.

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Rezolvă problema și câștigă 50 de mii de Euro

Cine zice că nu se pot câștiga bani rezolvând probleme de Matematică?

Uite un exemplu de problemă pentru a cărei rezolvare câștigi bani. Nu e o glumă, ci se câștigă bani în realitate. Dar, nici rezolvarea nu este o glumă.

Știu, o să spui că este o problemă de Informatică, nu de Matematică. Doar pe deasupra este de Informatică, că pe dedesubt este Matematică pură.

Dacă vezi problema asta pe tablă, și ți se promite o notă de 10 dacă o rezolvi, încearcă să trimiți prima dată rezolvarea celor care au propus-o. Nota de 10 o să o iei oricum, dar ar fi bine sa fii tu cel care ia (banc)notele care totalizează 50,000 EURO.

Ai aici toate detaliile:
http://prize.hutter1.net/

Iar aici ai formula de calcul pentru suma pe care o primești:
http://prize.hutter1.net/hfaq.htm#money

Dacă n-ai timp în weekend s-o termini, nu te îngrijora. Sunt șanse mari să poți contribui rezolvarea și săptămâna viitoare.

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Profesori cu răspundere limitată

Există încă elevi care consideră că fiecare profesor de Matematică trebuie să știe să rezolve ORICE problemă de Matematică.

Pentru astfel de elevi, există un link cu probleme de Matematică, pentru care încă nu s-a găsit rezolvare.
http://mathworld.wolfram.com/UnsolvedProblems.html
Cu unele dintre probleme s-au muncit sute de matematicieni, de sute de ani încoace. Nume grele s-au chinuit cu ele și nu le-au dat de capăt.

Neoficial, se presupune că un profesor decent ar trebui să știe mai mult decât media clasei la care predă. Există și profesori care abia știu noțiunile esențiale.

Ca să devii profesor, dai un examen. Nu doar cei care iau 10 devin profesori. Cu alte cuvinte, mulți care predau au încă goluri – probabil că, atunci când erau elevi, nu au alocat timpul necesar ca să umple acele goluri.

Răspunderea unui profesor este limitată. Un profesor ar trebui să știe GARANTAT să rezolve toate problemele din manualul din care predă. Atât. Nu este obligat să știe să rezolve orice problemă din orice culegere, sau, mai rău, o problemă incompletă, scrisă de mână, primită de la cine știe ce rudă care are un nepot cu o temă de făcut.

Pe vremuri, exista un singur set de manuale. Acum, există manuale alternative pentru fiecare clasă. Se presupune că profesorul citește manualul pe care îl predă, înainte să-l predea elevului.

Mai există clase la care elevul cel mai bun din clasă este mai bine pregătit decât profesorul de Matematică. Cum este posibil? Simplu : pentru că acel elev studiază Matematica din pasiune, iar profesorul respectiv a uitat de mult bucuria pe care ți-o dă înțelegerea unei noțiuni.

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Ziua lui PI

Ziua lui PI este pe 3.14, adică în luna 3 ziua 14. Adică azi!

Ce putem să-i urăm lui PI, de ziua lui? Cât mai multe zecimale, și să încerce să fie mai rațional.

PI este un număr transcedent, adică nu poate fi rădăcina unei ecuații polinomiale cu coeficienți numere naturale. Dacă nu crezi, uite aici dovada:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes6.pdf

Vrei să vezi cum arată PI cu 5 miliarde de zecimale? Ia uite:
http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html
Există persoane care sunt fericite că pot memora zeci sau chiar sute de zecimale ale lui PI. Dacă vrei să te dai mare, fără efort, atunci cel mai simplu e să memorezi link-ul de mai sus, in loc să memorezi atâta amar de cifre.

Dacă încerci să găsești o legătură între zecimalele lui PI, trebuie să urmărești mai puține filme gen “A Beautiful Mind”: http://www.imdb.com/media/rm3338246400/tt0268978 – dacă n-ai văzut filmul, dă click pe acest link și o să întelegi la ce mă refer.

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn

Vrei o culegere de Matematică scrisă special pentru tine?

Atunci când eram în școala generală, îmi doream să găsesc o culegere de probleme care să trateze și problemele pe care nu le știam. Culegerile pe care le aveam conțineau probleme asemănătoare cu cele din manual, dar nu abordau aproape deloc subiecte care nu-mi erau clare. Nu eram singurul care avea această dorință, doar că dorința asta nu a auzit-o nimeni dintre cei care făceau culegerile.

Statisticile site-ului MatematicaESimpla.com arată clar că vizitatorii preferă exemple concrete, nu doar teorie. De exemplu, acest articol este în top:
http://matematicaesimpla.com/notiuni-de-baza-partea-intreaga-a-unui-numar/

De ce? Probabil pentru că “partea întreagă” este subiect de coșmar pentru mulți elevi, deoarece exemplele cu partea întreagă nu sunt suficiente.

M-am gândit să fac o culegere de Matematică, conform dorințelor cititorilor site-ului MatematicaESimpla.com (inclusiv al celor care citesc doar pagina de Facebook). Culegerea va fi publicată doar în format PDF, și va fi gratis pentru abonații site-ului. Abonarea este și ea gratuită, și se poate face introducând adresa de email în caseta din partea de sus a oricărei pagini a site-ului. Te poți dezabona oricand, și nu vei mai primi niciun email de la mine după aceea. Totul este automatizat (folosesc AWeber).

Câte probleme trebuie să aibă o culegere? Dacă sunt probleme, trebuie să fie cel puțin două. Așa că, în prima ediție, culegerea va avea fix două probleme. În timp, vor fi mai multe. Ai voie să dai cui vrei acea culegere în format PDF, cât timp o dai gratis. Dar … doar cei abonați vor primi link-ul către cea mai recentă ediție. Fiecare ediție va avea menționată, pe copertă, data publicării și ediția, ca să știi clar ce ediție ai.

Culegerea va fi redactată în LaTeX. Voi introduce pe site și o secțiune despre LaTeX și avantajele lui.

Ce GEN de probleme ți-ai dori să vezi în această culegere? Nu mă refer aici la problemele din manual sau la teme.

Exemplu: vrei probleme/exemple cu:
– partea intreagă
– suma primelor numere naturale
– volumul piramidei regulate
– maxime și minime

Adică, dacă ai vreun subiect care ți-e clar și nu vrei să-l întrebi la școală, îl pot trata în acea culegere.
Pentru ce clasă este culegerea? Aceasta este o culegere de Matematică, nu de școală. Mai multe amănunte aici:
http://matematicaesimpla.com/in-ce-clasa-se-invata/

Există două variante ca să-mi trimiți dorințele tale vizavi de această culegere:
– prin reply la acest post pe Facebook
https://www.facebook.com/MatematicaESimpla/posts/957393340999440

– printr-un mesaj anonim aici:
http://MatematicaESimpla.com/trimite-mesaj-anonim
(de asemenea, pe pagina de mesaje anonime, poti scrie tot ce, indiferent de motiv, nu vrei sa faci public). Pagina de mesaje anonime are doar un buton de Trimite și o casetă unde să scrii întrebarea. Nimic altceva. Niciun detaliu despre tine nu se păstrează pe acea pagină. Este complet confidențial. Apropo, citesc TOATE mesajele pe care le primesc acolo. Doar eu văd acele mesaje, adică lista mesajelor nu este publică, deci nu poate citi altcineva ce-ai scris tu.

Cum arată pagina de mesaje anonime?
mesaj

Cum arată pagina de confirmare?

confirmare

ShareShare on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn