Explicații ultrascurte : cercul trigonometric

Ce este și la ce folosește cercul trigonometric?

Când eram elev, numărul elevilor care știau să răspundă la această întrebare era egal cu raza acestui cerc. Însă nu întrebarea aceasta îi frământa pe colegi, ci alta mult mai complicată : de ce o noțiune este prezentată cu o mulțime de detalii fără a se spune într-o singură frază la ce folosește acea noțiune. Adică, o noțiune nouă să aibă o scurtă definiție și o mică explicație despre rolul acelei noțiuni.

Acesta este primul articol din seria de explicații ultrascurte. Aceste articole vor conține doar definiția și rolul noțiunii. Adică, o explicație ultrascurtă este ca un fel de reclamă TV pentru o noțiune : scurtă și la obiect. Mai mult, explicația va fi îngroșată, ca să o vezi direct dacă nu vrei și alte detalii.

Așa, deci ce este și la ce folosește cercul trigonometric?

Cercul trigonometric este un cerc de rază 1, cu centrul în origine. Se mai numește și cerc unitate sau cerc unitar.

Cercul trigometric este folosit în principal ca o modalitate simplă de a afla valorile pentru sinus și cosinus pentru următoarele unghiuri : 0 grade, 90 de grade, 180 de grade, 270 de grade, 360 de grade.

Mai are el și alte scopuri, dar, dacă nu o să devii cercetător în Matematică, rândul de mai sus este ce merită reținut despre cercul trigonometric.

Întrebare : ce rază are cercul trigonometric? Dacă ai răspuns orice număr în afară de 1, trebuie să bei mai puțină cafea și să citești mai rar rândurile de mai sus.

Restul despre cercul trigonometric în alte episoade.

Rezolvă problema și câștigă 50 de mii de Euro

Cine zice că nu se pot câștiga bani rezolvând probleme de Matematică?

Uite un exemplu de problemă pentru a cărei rezolvare câștigi bani. Nu e o glumă, ci se câștigă bani în realitate. Dar, nici rezolvarea nu este o glumă.

Știu, o să spui că este o problemă de Informatică, nu de Matematică. Doar pe deasupra este de Informatică, că pe dedesubt este Matematică pură.

Dacă vezi problema asta pe tablă, și ți se promite o notă de 10 dacă o rezolvi, încearcă să trimiți prima dată rezolvarea celor care au propus-o. Nota de 10 o să o iei oricum, dar ar fi bine sa fii tu cel care ia (banc)notele care totalizează 50,000 EURO.

Ai aici toate detaliile:
http://prize.hutter1.net/

Iar aici ai formula de calcul pentru suma pe care o primești:
http://prize.hutter1.net/hfaq.htm#money

Dacă n-ai timp în weekend s-o termini, nu te îngrijora. Sunt șanse mari să poți contribui rezolvarea și săptămâna viitoare.

Profesori cu răspundere limitată

Există încă elevi care consideră că fiecare profesor de Matematică trebuie să știe să rezolve ORICE problemă de Matematică.

Pentru astfel de elevi, există un link cu probleme de Matematică, pentru care încă nu s-a găsit rezolvare.
http://mathworld.wolfram.com/UnsolvedProblems.html
Cu unele dintre probleme s-au muncit sute de matematicieni, de sute de ani încoace. Nume grele s-au chinuit cu ele și nu le-au dat de capăt.

Neoficial, se presupune că un profesor decent ar trebui să știe mai mult decât media clasei la care predă. Există și profesori care abia știu noțiunile esențiale.

Ca să devii profesor, dai un examen. Nu doar cei care iau 10 devin profesori. Cu alte cuvinte, mulți care predau au încă goluri – probabil că, atunci când erau elevi, nu au alocat timpul necesar ca să umple acele goluri.

Răspunderea unui profesor este limitată. Un profesor ar trebui să știe GARANTAT să rezolve toate problemele din manualul din care predă. Atât. Nu este obligat să știe să rezolve orice problemă din orice culegere, sau, mai rău, o problemă incompletă, scrisă de mână, primită de la cine știe ce rudă care are un nepot cu o temă de făcut.

Pe vremuri, exista un singur set de manuale. Acum, există manuale alternative pentru fiecare clasă. Se presupune că profesorul citește manualul pe care îl predă, înainte să-l predea elevului.

Mai există clase la care elevul cel mai bun din clasă este mai bine pregătit decât profesorul de Matematică. Cum este posibil? Simplu : pentru că acel elev studiază Matematica din pasiune, iar profesorul respectiv a uitat de mult bucuria pe care ți-o dă înțelegerea unei noțiuni.

Ziua lui PI

Ziua lui PI este pe 3.14, adică în luna 3 ziua 14. Adică azi!

Ce putem să-i urăm lui PI, de ziua lui? Cât mai multe zecimale, și să încerce să fie mai rațional.

PI este un număr transcedent, adică nu poate fi rădăcina unei ecuații polinomiale cu coeficienți numere naturale. Dacă nu crezi, uite aici dovada:
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes6.pdf

Vrei să vezi cum arată PI cu 5 miliarde de zecimale? Ia uite:
http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html
Există persoane care sunt fericite că pot memora zeci sau chiar sute de zecimale ale lui PI. Dacă vrei să te dai mare, fără efort, atunci cel mai simplu e să memorezi link-ul de mai sus, in loc să memorezi atâta amar de cifre.

Dacă încerci să găsești o legătură între zecimalele lui PI, trebuie să urmărești mai puține filme gen “A Beautiful Mind”: http://www.imdb.com/media/rm3338246400/tt0268978 – dacă n-ai văzut filmul, dă click pe acest link și o să întelegi la ce mă refer.

Vrei o culegere de Matematică scrisă special pentru tine?

Atunci când eram în școala generală, îmi doream să găsesc o culegere de probleme care să trateze și problemele pe care nu le știam. Culegerile pe care le aveam conțineau probleme asemănătoare cu cele din manual, dar nu abordau aproape deloc subiecte care nu-mi erau clare. Nu eram singurul care avea această dorință, doar că dorința asta nu a auzit-o nimeni dintre cei care făceau culegerile.

Statisticile site-ului MatematicaESimpla.com arată clar că vizitatorii preferă exemple concrete, nu doar teorie. De exemplu, acest articol este în top:
http://matematicaesimpla.com/notiuni-de-baza-partea-intreaga-a-unui-numar/

De ce? Probabil pentru că “partea întreagă” este subiect de coșmar pentru mulți elevi, deoarece exemplele cu partea întreagă nu sunt suficiente.

M-am gândit să fac o culegere de Matematică, conform dorințelor cititorilor site-ului MatematicaESimpla.com (inclusiv al celor care citesc doar pagina de Facebook). Culegerea va fi publicată doar în format PDF, și va fi gratis pentru abonații site-ului. Abonarea este și ea gratuită, și se poate face introducând adresa de email în caseta din partea de sus a oricărei pagini a site-ului. Te poți dezabona oricand, și nu vei mai primi niciun email de la mine după aceea. Totul este automatizat (folosesc AWeber).

Câte probleme trebuie să aibă o culegere? Dacă sunt probleme, trebuie să fie cel puțin două. Așa că, în prima ediție, culegerea va avea fix două probleme. În timp, vor fi mai multe. Ai voie să dai cui vrei acea culegere în format PDF, cât timp o dai gratis. Dar … doar cei abonați vor primi link-ul către cea mai recentă ediție. Fiecare ediție va avea menționată, pe copertă, data publicării și ediția, ca să știi clar ce ediție ai.

Culegerea va fi redactată în LaTeX. Voi introduce pe site și o secțiune despre LaTeX și avantajele lui.

Ce GEN de probleme ți-ai dori să vezi în această culegere? Nu mă refer aici la problemele din manual sau la teme.

Exemplu: vrei probleme/exemple cu:
– partea intreagă
– suma primelor numere naturale
– volumul piramidei regulate
– maxime și minime

Adică, dacă ai vreun subiect care ți-e clar și nu vrei să-l întrebi la școală, îl pot trata în acea culegere.
Pentru ce clasă este culegerea? Aceasta este o culegere de Matematică, nu de școală. Mai multe amănunte aici:
http://matematicaesimpla.com/in-ce-clasa-se-invata/

Există două variante ca să-mi trimiți dorințele tale vizavi de această culegere:
– prin reply la acest post pe Facebook
https://www.facebook.com/MatematicaESimpla/posts/957393340999440

– printr-un mesaj anonim aici:
http://MatematicaESimpla.com/trimite-mesaj-anonim
(de asemenea, pe pagina de mesaje anonime, poti scrie tot ce, indiferent de motiv, nu vrei sa faci public). Pagina de mesaje anonime are doar un buton de Trimite și o casetă unde să scrii întrebarea. Nimic altceva. Niciun detaliu despre tine nu se păstrează pe acea pagină. Este complet confidențial. Apropo, citesc TOATE mesajele pe care le primesc acolo. Doar eu văd acele mesaje, adică lista mesajelor nu este publică, deci nu poate citi altcineva ce-ai scris tu.

Cum arată pagina de mesaje anonime?
mesaj

Cum arată pagina de confirmare?

confirmare

Cât face arcsinus din radical din doi?

“Cât face arcsinus din radical din doi?” este întrebarea pe care o pun fiecărei persoane care se laudă cu notele ei la Matematică, obținute la școală. Fără excepție, răspunsurile pe care le primesc sunt de genul :
“Ă, … da, știi, la Trigonometrie nu prea m-a ascultat.”
“N-am mai lucrat de mult la Trigonometrie.”
“Nu mi-a plăcut niciodată Trigonometria.”

Până acum, n-am întâlnit pe nimeni care să-mi răspundă la întrebarea asta. Cred că acest lucru este din cauză că aceia care se laudă cu notele de la școală nu sunt pasionați de Matematică, ci de note.

Dacă la un concurs de sărituri în înălțime, campionul mondial a sărit 1 metru, cine a sărit 1 metru și 41 de centimetri? Simplu : nimeni! Pentru că nimeni nu a sărit mai mult decât campionul mondial.

Dacă sinusul lui x ia cel mult valoarea 1, indiferent cât ar fi x, pentru ce valoare a lui x sinusul ia valoarea 1,41… (adică, radical din 2)? Pentru nicio valoare a lui x, pentru că 1,41… este mai mare ca 1, iar sinus de x, oricât s-ar chinui, nu poate depăși valoarea lui 1.

Întrebarea de la început este echivalentă cu:
pentru ce valori ale lui x, sinusul lui x este egal cu 1.41 …?
Răspuns : nu putem găsi astfel de valori ale lui x, deci arcsinus din radical din doi nu există. Radical din doi este prea sus pentru a fi sinusul cuiva.

Cineva m-a întrebat, pe un ton foarte serios : “NOI nu putem găsi un astfel de x, dar japonezii pot?” Mă tem că nici măcar japonezii nu pot, în ciuda a tot ce-au inventat ei în domeniul electronicii.

De ce-mi place Matematica

Am fost întrebat de mai multe ori de ce-mi place Matematica, dar nu în aceeași măsură Fizica sau Chimia. Cred că motivul principal pentru care îmi place Matematica este că pentru că pot verifica majoritatea rezultatelor doar cu un creion și o hârtie.

De exemplu, dacă am de rezolvat o ecuație de gradul 2, pot să verific dacă numerele pe care le-am obținut sunt cele corecte. Nu-mi permit același lux la problemele de Fizică, de exemplu. Să spunem că arunc o piatră de la etajul 10 al unui bloc. Cum măsor cu ce viteză ajunge piatra la sol? Ce aparate îmi trebuie pentru o simplă problemă? De Chimie, ce să mai zic? De unde iau diverse substanțe exotice pentru experimente, când uneori nu găsesc de cumpărat nici măcar lapte, pe care orice vacă e în stare să-l facă în timpul liber.

La Matematică, pot să verific rezultatul fără să azvârl cu pietre sau fără să cumpăr diverse aparate. Totul este pur și verificabil, în anumite limite. Apropo de limite, am auzit de multe ori “am ajung la limita puterii”, dar n-am auzit niciodata pe cineva plângându-se că ajuns la “puterea limitei”, deși ele sunt egale.

Cineva întreba unde găsim formule Matematice în viața de zi cu zi. Cum unde? În nume de obiecte din natură. De exemplu, piper = PI / R.

Există și alte motive pentru care-mi place Matematica, dar dacă nu mi-ar mai oferi posibilitatea de a verifica cu propriile puteri că sunt pe drumul cel bun, aș fi foarte … cum să spun … non-încântat.

Teorema lui Pitagora și triunghiul violet

În ultimii ani, unele probleme de la examene au început să aibă amănunte neesențiale introduse în enunț. Există elevi care se blochează când întâlnesc amănunte neesențiale, pentru ei sunt obișnuiți ca enunțul să conțină doar informații relevante. Atunci când un astfel de elev întâlnește un amănunt inutil, se întreabă “Oare de ce mi s-a oferit această informație? În mod sigur îmi folosește la ceva, că altfel nu mi s-ar fi dat, dar la ce?” Și, ușor – ușor, în mintea acelui elev începe să se strecoare îndoiala că lui îi scapă ceva, că rezolvarea lui aproape sigur nu e bună, pentru că n-a folosit și acel amănunt.

De ce se introduc astfel de amănunte în enunț? Pentru a verifica dacă elevii știu să extragă modelul matematic al unei probleme din viața reală. Problemele de zi cu zi conțin și amănunte irelevante, la fel cum o grădină cu legume conține și buruieni. Sarcina elevului este să depisteze buruienile din enunț și să le ignore. Dacă ar fi învățat să facă asta, nu doar să i se ceară să știe , ar fi și mai simplu pentru el.

Exemplu:
Într-un triunghi dreptunghic violet, catetele sunt de 4 cm și 3 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Elevul știe teorema lui Pitagora, dar o știe pentru un triunghi transparent, nu pentru unul violet. Desigur, dacă la examen întreabă ce imporanță are cuvântul “violet”, profesorul din sală o să-i spună cu un aer secretos sau nervos : “Nu am voie să vă ajut!” Iar acel elev s-ar putea să piardă puncte la examen, care uneori fac diferența dintre “admis” și “respins”, doar pentru că nu i-a spus nimeni că enunțul de mai sus, din punct de vedere strict matematic, este identic cu acesta:

Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt de 4 cm și 3 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Întotdeauna m-au surprins enunțurile de genul “Calculați …” . Pluralul sugerează lucrul în grup, ceea ce face ca pedeapsa pentru colaborarea cu colegul de bancă să pară absurdă.

Dacă în problemă se adaugă un număr care pare inutil, atunci este dezastru total pentru anumiți elevi. Dacă cuvântul “violet” se poate ignora după un antrenament adecvat, un număr, care pare inutil, dă fiori reci elevului dacă nu știe unde să-l folosească.

Exemplu:
Într-un triunghi dreptunghic violet, catetele sunt de 4 cm și 3 cm, iar diametrul cercului circumscris triunghiului este de 5 cm. Calculați lungimea ipotenuzei.

Lungimea ipotenuzei este chiar diametrul cercului circumscris triunghiului. Teorema lui Pitagora confirmă că valoarea ei este 5 cm. Totul este în regulă, exceptând faptul că un amănunt este în plus. Este un fel de pleonasm, gen “babă bătrână”, extrem de derutant în enunțuri, dar pentru care e bine să fii pregătit. Adică, dacă primești un astfel de enunț la examen, să ai încredere în tine și să rezolvi problema la fel cum ai rezolva-o și dacă nu ți s-ar fi oferit în enunț amănunte neesențiale.

violet

Matematica pură versus Matematica utilă (câtă gresie îți trebuie cu adevărat)

Când o problemă începe cu “Gigel vrea să …”, implicarea ta emoțională este 0. Faptul că Gigel vrea ceva este treaba lui, nu a ta. Plus că știi clar că Gigel din problemă ar putea fi doar un personaj fictiv, și atunci ești si mai puțin interesat. În cel mai rău caz, dacă nu rezolvi problema, Gigel n-o să te sune nemulțumit. Cel mult o să iei notă mică la școală, o să repari acea notă mică cu o notă mare și o să-ți vezi mai departe de viață. Acesta este un caz de Matematică de la școală, la care consecințele nerezolvării problemei sunt în legătură cu media.

Dacă vrei să faci o cușcă pentru câinele tău, povestea se schimbă radical. Dacă nu aplici corect formulele, atunci o să se întâmple ceva mult mai grav decât o notă proastă. Există riscul să faci cușca prea mică, de exemplu, și o să încapă în ea doar o vrabie. Sau, o să o faci prea mare, și o să-ți ocupe toată camera.

Când ai de-a face cu o problemă practică, al cărui rezultat nu îți este indiferent, lucrurile sunt mult mai simple, pentru că și implicarea ta emoțională este de 100% și n-o să te oprești până nu rezolvi problema, în felul în care îți place.

Cum rezolvi o problemă practică?

Să spunem că vrei să schimbi gresia din baie. Etapele de rezolvare a unei probleme de acest fel sunt:
– cauți un model matematic adecvat, pentru ca să poți aplica formule de calcul.
Baia seamănă cu un dreptunghi, iar o placă de gresie seamănă cu un pătrat.

– cauți formulele necesare pentru situația dată.
Te interesează formulele care calculează suprafața (aria), în funcție de lungimile laturilor.
Aria dreptunghiului = lungimea * lățimea
Aria pătratului = latura * latura

– afli câte piese ai nevoie și ce ajustări trebuie să faci
Vezi de câte ori încape o placă pe lungimea băii, și de câte ori pe lâțimea băii. Dacă cele două numere nu sunt exacte, calculezi partea întreagă din ele și aduni 1. De ce partea întreagă? Pentru că gresia nu e ca pizza, și nu se vinde la felie, ci la bucată. Adică, dacă mai ai nevoie de un sfert de placă, trebuie să cumperi o placă întreagă.

– faci eventuale optimizări și eventual iei în calcul și alte aspecte
Optimizări : dacă-ți mai trebuie două jumătăți de placă, nu e nevoie să cumperi două plăci, și s-o tai pe fiecare în jumătate. Poți să cumperi doar o singură placă în plus, să o tai în două, și să folosești ambele jumătăți

Alte aspecte : s-ar putea ca să spargi din greșeală vreo placă. Fă un calcul : ce e mai ieftin? Să cumperi vreo 2-3 plăci de rezervă, sau să mai mergi (dus-întors) până la magazinul din celălalt capăt al orașului, de unde unde ai cumpărat gresia, în cazul în care ai cumpărat fix cât trebuia și vreo placă era defectă sau ai spart-o din greșeală?

O problemă de acest fel (“Câtă gresie îmi trebuie pentru baie?”) nu are răspuns în manual. Răspunsul o să-l vezi, pe viu, la sfârșit, după ce ai pus toată gresia. Dacă, cu gresia calculată, ai acoperit doar un sfert din baie, sigur ai greșit vreo formulă …

Cum și de ce se face o schimbare de variabilă

Noțiunea de schimbare de variabilă nu este folosită doar la calculul primitivelor. Ea se folosește și la exerciții simple, de genul “Să se rezolve ecuația:

(x + 1) ^ 2 + 4 * (x + 1) + 3 = 0″

E mai simplu să notăm x + 1 = y, și să rezolvăm ecuația y^2 + 4*y + 3 = 0, să aflăm valorile lui y, după care să le aflăm pe cele ale lui x.

Ceva asemănător se întâmplă și în viața reală : dacă, în luna Octombrie, vrem să se facă ziuă la 6 și ceva dimineață, în loc de 7 și ceva, atunci facem schimbarea de variabilă: OraNouă = OraVeche – 1 (adică, 6 = 7 – 1).

Cu ce ne ajută această schimbare? În link-ul de mai jos este întreaga poveste:
http://www.timeanddate.com/time/dst/history.html