Matematica pură versus Matematica utilă (câtă gresie îți trebuie cu adevărat)

Când o problemă începe cu “Gigel vrea să …”, implicarea ta emoțională este 0. Faptul că Gigel vrea ceva este treaba lui, nu a ta. Plus că știi clar că Gigel din problemă ar putea fi doar un personaj fictiv, și atunci ești si mai puțin interesat. În cel mai rău caz, dacă nu rezolvi problema, Gigel n-o să te sune nemulțumit. Cel mult o să iei notă mică la școală, o să repari acea notă mică cu o notă mare și o să-ți vezi mai departe de viață. Acesta este un caz de Matematică de la școală, la care consecințele nerezolvării problemei sunt în legătură cu media.

Dacă vrei să faci o cușcă pentru câinele tău, povestea se schimbă radical. Dacă nu aplici corect formulele, atunci o să se întâmple ceva mult mai grav decât o notă proastă. Există riscul să faci cușca prea mică, de exemplu, și o să încapă în ea doar o vrabie. Sau, o să o faci prea mare, și o să-ți ocupe toată camera.

Când ai de-a face cu o problemă practică, al cărui rezultat nu îți este indiferent, lucrurile sunt mult mai simple, pentru că și implicarea ta emoțională este de 100% și n-o să te oprești până nu rezolvi problema, în felul în care îți place.

Cum rezolvi o problemă practică?

Să spunem că vrei să schimbi gresia din baie. Etapele de rezolvare a unei probleme de acest fel sunt:
– cauți un model matematic adecvat, pentru ca să poți aplica formule de calcul.
Baia seamănă cu un dreptunghi, iar o placă de gresie seamănă cu un pătrat.

– cauți formulele necesare pentru situația dată.
Te interesează formulele care calculează suprafața (aria), în funcție de lungimile laturilor.
Aria dreptunghiului = lungimea * lățimea
Aria pătratului = latura * latura

– afli câte piese ai nevoie și ce ajustări trebuie să faci
Vezi de câte ori încape o placă pe lungimea băii, și de câte ori pe lâțimea băii. Dacă cele două numere nu sunt exacte, calculezi partea întreagă din ele și aduni 1. De ce partea întreagă? Pentru că gresia nu e ca pizza, și nu se vinde la felie, ci la bucată. Adică, dacă mai ai nevoie de un sfert de placă, trebuie să cumperi o placă întreagă.

– faci eventuale optimizări și eventual iei în calcul și alte aspecte
Optimizări : dacă-ți mai trebuie două jumătăți de placă, nu e nevoie să cumperi două plăci, și s-o tai pe fiecare în jumătate. Poți să cumperi doar o singură placă în plus, să o tai în două, și să folosești ambele jumătăți

Alte aspecte : s-ar putea ca să spargi din greșeală vreo placă. Fă un calcul : ce e mai ieftin? Să cumperi vreo 2-3 plăci de rezervă, sau să mai mergi (dus-întors) până la magazinul din celălalt capăt al orașului, de unde unde ai cumpărat gresia, în cazul în care ai cumpărat fix cât trebuia și vreo placă era defectă sau ai spart-o din greșeală?

O problemă de acest fel (“Câtă gresie îmi trebuie pentru baie?”) nu are răspuns în manual. Răspunsul o să-l vezi, pe viu, la sfârșit, după ce ai pus toată gresia. Dacă, cu gresia calculată, ai acoperit doar un sfert din baie, sigur ai greșit vreo formulă …

Cum și de ce se face o schimbare de variabilă

Noțiunea de schimbare de variabilă nu este folosită doar la calculul primitivelor. Ea se folosește și la exerciții simple, de genul “Să se rezolve ecuația:

(x + 1) ^ 2 + 4 * (x + 1) + 3 = 0″

E mai simplu să notăm x + 1 = y, și să rezolvăm ecuația y^2 + 4*y + 3 = 0, să aflăm valorile lui y, după care să le aflăm pe cele ale lui x.

Ceva asemănător se întâmplă și în viața reală : dacă, în luna Octombrie, vrem să se facă ziuă la 6 și ceva dimineață, în loc de 7 și ceva, atunci facem schimbarea de variabilă: OraNouă = OraVeche – 1 (adică, 6 = 7 – 1).

Cu ce ne ajută această schimbare? În link-ul de mai jos este întreaga poveste:
http://www.timeanddate.com/time/dst/history.html

Teorema lui Vitoria Lipan

Fie f o funcție continuă. Dacă f este pozitivă în punctul A, și negativă în punctul B, atunci există un punct c, din intervalul AB, în care f(c) = 0.

Știu că unii insistă că se spune corect “teorema Vitoriei Lipan”, și nu “teorema lui Vitoria Lipan”, dar asta este o altă discuție.

În variantă populară : ca să ajungi din pod în beci, trebuie să treci printr-o cameră aflată la nivelul solului.

Romanul “Baltagul”, pe scurt, în variantă matematică:

Soțul lui Vitoria Lipan trăia când era pe muntele A (avea o viață pozitivă) și nu mai trăia pe muntele B (avea o viață negativă). Vitoria Lipan a aflat valoarea punctului c, în care viața lui Lipan a devenit 0.

Mereu m-am întrebat de ce o chema “Vitoria” și nu “Victoria”. Probabil pentru că litera c o folosise pentru abscisa punctului în care se anula funcția.

Vitoria Lipan3

Câți metri pătrați are un metru cub și de ce întreabă lumea acest lucru?

Daca ai ajuns pe aceasta pagina, cel mai probabil ca te intereseaza raspunsul la intrebarea de mai jos: “Un aer conditionat de 10 metri cubi este de ajuns pentru camera mea de 40 de metri patrati?”

In formulare mai completa : “Daca am o camera cu suprafata de 40 de metri patrati, ce capacitate minima, in metri cubi, trebuie sa aiba aparatul de aer conditionat din acea camera?”

Camera este, cu aproximatie, de forma unui paraleliped. 40 de metri patrati este aria bazei. Volumul este aria bazei inmultita cu inaltimea. Inaltimea unei camere este cam de 3 metri. Daca n-ai ruleta, intainde mainile in sus si vezi cam cat mai ai pana la tavan. Inmulteste inaltimea ta cu 1.3, si o sa afli care este inaltimea ta cu mainile intinse. Dupa aceea, poti afla, orientativ, inaltimea camerei.

Daca este un bloc vechi, la care peretii nu sunt paraleli, ca n-a vrut mesterul cand i-a facut, atunci aproximatia va fi si mai grosiera.

40 metri patrati * 3 metri = 120 metri cubi. Deci, iti trebuie un aparat care raceste minim 120 metri cubi.

Uite un link daca vrei mai multe detalii, de exemplu cum se face calculul daca exista si o persoana in camera:

“Pentru fiecare persoana care sta in camera trebuie adaugat 400 BTU /ora. – presupunem ca apartamentul este locuit de catre doi adulti si un minor, pentru copil sa adaugam o valoare mai mica, si avem 400+400+200=1000 BTU suplimetari”
http://www.reparaerconditionat.eu/utile-btu.html

Unele persoane calculeaza asa: 10 metri cubi = 10 metri * 10 metri * 10 metri = 10 metri * 100 metri patrati = 1000 metri patrati.
Aceasta “formula” este practic pentru 1000 metri cubi, nu pentru 10 metri cubi. Plus ca ultima egalitate nu este corecta, pentru ca s-a pierdut un “metri”. Este similar cu :
gastronomie = g astronomie = g * astronomie = 9.8 m/s^2 astronomie, care este, pe cat de captivanta, pe atat de gresita.

Daca totusi vrei sa stii, din punct de vedere strict matematic, cati metri patrati are un metru cub, te rog sa dai click aici:
http://matematicaesimpla.com/intrebari-delicate-cati-metri-patrati-are-un-metru-cub/

Cum să rezolvi o problemă de Matematică

Te-ai întrebat vreodată de ce ţi se pare greu să rezolvi o problemă de Matematică?

Există probleme şi probleme. Unele sunt aşa de simple, încât le rezolvi dintr-o privire. Altele sunt aşa de complicate încât mulţi matematicieni s-au muncit sute de ani să le rezolve (cum ar fi marea teoremă a lui Fermat).

Este foarte important să înţelegi că majoritatea problemelor sunt simple dacă ştii cum să le abordezi. Trebuie să te concentrezi pe ce ai nevoie să afli şi de unde obţii ce-ţi lipseşte.

Unele probleme aplică o singură formulă. Dacă o ştii, totul e simplu. Dacă nu, tu şi problema o să vă uitaţi unul la altul, în tăcere, ore întregi.

Exemplu: dacă se dau două laturi ale unui triunghi dreptunghic şi se cere a treia, avem o formulă care face legătura între cele 3 laturile unui triunghi dreptunghic. Nu contează care latură se cere calculată, atât timp cât le ştii pe celealte două şi mai ştii şi teorema lui Pitagora. Pitagora, fără să-l pună nimeni, a reuşit să găsească relaţia de legătură între laturile unui triunghi dreptunghic. De fapt, frumuseţea unei teoreme ca aceea a lui Pitagora este că se poate aplica pentru ORICE triunghi dreptunghic, indiferent de cât de mici sau de mari sunt laturile sale. De fapt, Pitagora a descoperit o relaţie nu doar pentru un triunghi dreptunghic, ci o relaţie care este valabila pentru tot neamul de triunghiuri dreptunghice.

Vestea bună este că dacă ştii această teoremă, şi mai ştii să extragi si un radical, acolo, deja ştii să rezolvi orice problemă de genul “Calculaţi ipotenuza unui triunghi dreptunghic, ştiind catetele.”

E încurajator că există pe lume şi probleme care se rezolvă ştiind o singură formulă. Şi mai încurajator este că nu mulţi înţeleg acest lucru, aşa că dacă tu îl înţelegi, atunci o să ai un avantaj competitiv faţă de alţii. Cu alte cuvinte, o să ai şanse mai mari să intri la o facultate la care există mai mult de un concurent per loc.

Cum se calculează logaritm în baza 3 din 5 cu un calculator de buzunar?

Calculatoarele de buzunar au şi un buton pentru calculul logartimilor(sau chiar două, depinde de cât de mare a fost buzunarul celui care l-a cumpărat). Problema este că butoanele sunt :
lg pentru calculul logaritmului zecimal (în baza 10).
ln pentru calculul logaritmului natural (în baza e).

Cum calculăm logaritm în bază 3 din 5? Simplu, folosind formula de schimbare a bazei.


Bine, dar ln 5 nu este egal cu lg 5. Da, dar ln 5 / ln 3 este egal cu lg 5 / lg 3.

Cum se notează radicalul pe anumite calculatoare de buzunar?

Uneori, radicalul se notează sqrt. Este prescurtarea de la SQuare Root (care înseamnă “rădăcină pătrată”). Radicalul de ordinul 2 se mai numeşte ştiinţific “radical de ordinul 2” şi popular, “rădăcină pătrată?” Ce legătură există între numărul 2 şi cuvântul “pătrat”? Simplu, aria pătratului este egală cu latura la pătrat, …, pardon cu latura la puterea a doua.

Dacă nu înţelegi ce legătură este, un exemplu mai simplu este expresia “plouă cu găleata”. Ai văzut vreodată vreo găleată prin aer în timp ce ploua?